Бра и кет

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
bra ket
бра кет
 Просмотр этого шаблона  Квантовая механика
\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}
Принцип неопределённости
Введение
Математические основы
См. также: Портал:Физика

Бра и кет (англ. bra-ketbracket скобка) — алгебраический формализм (система обозначений), предназначенный для описания квантовых состояний. Называется также обозначениями Дирака. В матричной механике данная система обозначений является общепринятой.

Определение и использование[править | править исходный текст]

В квантовой механике состояние системы описывается лучом в сепарабельном гильбертовом пространстве, или, что эквивалентно, вектором из проективного гильбертового пространства \mathcal{H}, элементы (векторы) которого обозначаются как |\psi\rangle («кет-векторы»).

Каждому кет-вектору |\psi\rangle ставится в соответствие бра-вектор из пространства, сопряжённого к \mathcal{H}, то есть из \mathcal{H}^*.

Бра-вектор \langle \psi | из пространства \mathcal{H}^* определяется соотношением:

\langle\psi| : \mathcal H \to \mathbb{C}: \langle \psi | \left( |\rho\rangle \right) = \left( |\psi\rangle \;,\; |\rho\rangle \right), для любого кет-вектора |\rho\rangle.

Допуская некоторую вольность речи, иногда говорят, что бра-векторы «совпадают» с соответствующими им комплексно-сопряжёнными кет-векторами. При этом обычно происходит отождествление векторов и функционалов над векторами со столбцами или строками координат разложения их по соответствующему базису \mathcal{H}^* или \mathcal{H}.

Скалярное произведение бра-вектора с кет-вектором (а точнее, действие бра-вектора на кет-вектор) записывается в виде \langle \phi |\psi\rangle; две вертикальные черты «сливаются», а скобки опускаются. Квадрат вектора, по определению гильбертова пространства, неотрицателен: \langle \psi |\psi\rangle \ge 0. На вектора, описывающие состояния системы, накладывается условие нормировки \langle \psi |\psi\rangle = 1.

Линейные операторы[править | править исходный текст]

Если A : HH — линейный оператор из H в H, то действие оператора A на кет-вектор |\psi\rangle записывается как A|\psi\rangle.

Для каждого оператора A и бра-вектора \langle\phi| вводится функционал (\langle\phi|A) из пространства \mathcal{H}^*, то есть бра-вектор, умноженный на оператор A, который определяется равенством:

\bigg(\langle\phi|A\bigg) \; |\psi\rangle = \langle\phi| \; \bigg(A|\psi\rangle\bigg), для любого вектора |\psi\rangle.

Так как положение скобок не имеет значения, их обычно опускают и пишут просто \langle\phi|A|\psi\rangle.

Это выражение называется свёрткой оператора А с бра-вектором \langle \phi | и кет-вектором |\psi\rangle. Значение этого выражения есть скаляр (комплексное число).

В частности, матричный элемент оператора А в определённом базисе (в тензорных обозначениях — Akl) записывается в обозначениях Дирака как \langle k |A|l\rangle, а среднее значение наблюдаемой на состоянии \psi — как \langle\psi|A|\psi\rangle.

Умножение векторов на оператор (кет-вектора — слева, бра-вектора — справа) даёт векторы того же типа и записывается тем же способом, что принят в линейной алгебре (то есть в том случае, если бра- и кет-векторы отождествляются с векторами-строками и столбцами, а операторы — с квадратными матрицами):

 |\tilde\psi\rangle = A|\psi\rangle,
 \langle \tilde\phi | = \langle \phi |A.

Уравнение Шрёдингера (для стационарного состояния) будет иметь вид:

 H|\psi\rangle = E|\psi\rangle, где H — гамильтониан, а E — скаляр (уровень энергии).

Отличия бра-кет-обозначений от традиционных[править | править исходный текст]

В математике употребляется обозначение «эрмитового» скалярного произведения \langle \phi ,\psi\rangle в гильбертовом пространстве, имеющее тот же смысл, что и перемножение бра на кет. Однако математики обычно рассматривают угловые скобки как знак операции, а не части обозначения вектора. Традиционное математическое обозначение, в отличие от дираковского, несимметрично — оба вектора предполагаются величинами одного типа, и по первому аргументу из двух операция является антилинейной.

С другой стороны, произведение бра и кет является билинейным, но от двух аргументов разного типа. Сопряжённым к кет-вектору i|\psi\rangle будет являться бра-вектор -i \langle \psi | (где i — мнимая единица). Однако, в квантовой механике эту странность обозначений позволено игнорировать, поскольку квантовое состояние, представляемое вектором, не зависит от его умножения на любые комплексные числа, по модулю равные единице.

Кроме того, использование бра и кет позволяет подчеркнуть отличие состояния \psi (записывается без скобок и палок) от конкретных векторов, его представляющих.

В отличие от алгебраических обозначений, где элементы базиса обозначаются как e_k, в бра-кет-обозначениях может указываться только индекс базисного элемента: \langle k|\ ,\  |l\rangle. Этим они похожи на тензорные обозначения, но, в отличие от последних, позволяют записывать произведения операторов с векторами без использования дополнительных (подстрочных или надстрочных) букв.

Математические свойства[править | править исходный текст]

Бра и кет можно использовать и в чистой математике для обозначения элементов сопряжённых друг другу линейных пространств. Если, например, \mathcal{H}=R^n, то кет-векторы считаются при этом «векторами-столбцами», а бра-векторы — «векторами-строками».

Перемножение бра- и кет-векторов друг на друга и на операторы можно рассматривать как частный случай матричного формализма «строка на столбец». А именно, надо положить кет-векторы матрицами размера N×1, бра-векторы — размера 1×N, операторы — размера N×N, где N — количество состояний квантовой системы (размерность пространства \mathcal{H}). Матрицы размера 1×1 имеют единственный элемент и отождествляются со скалярами. В случае бесконечномерного пространства состояний на «матрицы» (фактически ряды) приходится накладывать дополнительные условия сходимости.

Формула для сопряжённого вектора выглядит следующим образом:

\langle \psi | = \begin{pmatrix}\overline{c}_1,  \overline{c}_2, \cdots , \overline{c}_N\end{pmatrix}, где  |\psi\rangle = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\  \vdots  \\ c_N \end{pmatrix}

Запись типа \langle ... \rangle всегда означает скаляр. Бра-вектор всегда имеет скобку слева \langle, кет-вектор — скобку справа \rangle. Вводится также произведение в «неестественном» порядке — | \phi\rangle \langle \psi | (аналогичное матричному умножению вектора-столбца на вектор-строку), которое даёт так называемый кет-бра-оператор. Оператор |\psi\rangle \langle \phi| имеет ранг 1 и является тензорным произведением |\psi\rangle и \langle \phi|. Такие операторы часто рассматриваются в теории операторов и квантовых вычислениях. В частности, оператор |\psi\rangle \langle \psi| (при нормировке \langle \psi |\psi\rangle = 1) является проектором на состояние ψ, точнее, на соответственное одномерное линейное подпространство в \mathcal{H}.

Имеет место ассоциативность:

\langle\phi |\cdot A|\psi\rangle\ =\ \langle\phi |A|\psi\rangle\ =\ \langle \phi |A \cdot| \psi\rangle,
|\psi\rangle\cdot\langle\phi |\tilde\psi\rangle\ =\ (|\psi\rangle\langle\phi|) \cdot| \tilde\psi\rangle

и т. д.

Интересные факты[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Белоусов Ю. М. Курс квантовой механики. Нерелятивистская теория. — М.: МФТИ, 2006. — 408 с.
  • Давыдов А. С. Квантовая механика. — М.: Наука, 1973. — 704 с.
  • Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — 440 с.
  • Мессиа А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — 478 с.
  • Шпольский Э. В. Атомная физика. — М.: Наука, 1974. — Т. 2. — 448 с.
  • Ярив А. Введение в теорию и приложения квантовой механики. — М.: Мир, 1984. — 360 с.