Броуновский мост

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Броуновский мост — это частный случай случайного блуждания с непрерывным временем (винеровского процесса) B(t), когда начальная и конечная точки совпадают: B(0)=B(1)=0. Стандартный винеровский процесс "привязан" в начальной точке W(0)=0, но имеет свободный конец. Броуновский мост зафиксирован и в начале B(0)=0, и в конце B(1)=0.

Свойства[править | править вики-текст]

Броуновский мост имеет среднее {E}\left[B_t\right] = 0 и дисперсию \mathrm{D}\left[B_t\right] = t(1-t), что подразумевает наибольшую неопределенность в середине моста и полную определенность на концах. Ковариация {Cov}\left[B_s,B_t\right] = s(1-t), где s < t. Приращения не являются независимыми.

Связь с другими случайными процессами[править | править вики-текст]

Если W(t) — стандартный винеровский процесс (т.е. для t ≥ 0, W(t) нормально распределено со средним 0 и дисперсией t, а приращения являются независимыми), то имеем броуновский мост

B\left(t\right) = W(t) - t \cdot W(1)


В свою очередь, если взять броуновский мост B(t) и стандартную нормально распределенную случайную величину Z, то процесс

W(t) = B\left(t\right) + tZ


будет винеровский процессом для t ∈ [0, 1]. В общем, при t ∈ [0, T] имеем

W(t) = B(\frac{t}{T}) + \frac{t}{\sqrt{T}} Z

Броуновский мост является следствием англ. Donsker's theorem применительно к эмпирическим процессам (англ. empirical process). Также он используется в критерии согласия Колмогорова-Смирнова для статистического вывода.

Общий случай[править | править вики-текст]

В общем случае B(t_1)=a и B(t_2)=b. Тогда

B(t) \sim N\left(a + \frac{t-t_1}{t_2-t_1}(b-a), \frac{(t-t_1)(t_2-t)}{t_2-t_1}\right)

при t \in (t_1, t_2).

Замечание[править | править вики-текст]

Предположим, мы сгенерировали последовательность точек W(0), W(1), W(2), W(3) и т.д. винеровского процесса с помощью компьютерной симуляции. Если мы захотим вставить дополнительную точку на интервале [0,1], то мы должны использовать броуновский мост, проходящий через W(0) и W(1).

См. также[править | править вики-текст]