Броуновский мост

Броуновское движение, закреплённое в обоих концах, — броуновский мост.

Броуновский мост — это частный случай случайного блуждания с непрерывным временем (винеровского процесса) $B(t)$, когда начальная и конечная точки совпадают: $B(0)=B(1)=0$. Стандартный винеровский процесс "привязан" в начальной точке $W(0)=0$, но имеет свободный конец. Броуновский мост зафиксирован и в начале $B(0)=0$, и в конце $B(1)=0$.

Свойства

Броуновский мост имеет среднее ${E}\left[B_{t}\right]=0$ и дисперсию $\mathrm {D} \left[B_{t}\right]=t(1-t)$, что подразумевает наибольшую неопределенность в середине моста и полную определенность на концах. Ковариация ${Cov}\left[B_{s},B_{t}\right]=s(1-t)$, где s < t. Приращения не являются независимыми.

Связь с другими случайными процессами

Если W(t) — стандартный винеровский процесс (т.е. для t ≥ 0, W(t) нормально распределено со средним 0 и дисперсией t, а приращения являются независимыми), то имеем броуновский мост

$B\left(t\right)=W(t)-t\cdot W(1)$

В свою очередь, если взять броуновский мост B(t) и стандартную нормально распределенную случайную величину Z, то процесс

$W(t)=B\left(t\right)+tZ$

будет винеровский процессом для t ∈ [0, 1]. В общем, при t ∈ [0, T] имеем

$W(t)=B\left({\frac {t}{T}}\right)+{\frac {t}{\sqrt {T}}}Z$

Броуновский мост является следствием теоремы Донскера-Прохорова применительно к эмпирическим процессам. Также он используется в критерии согласия Колмогорова-Смирнова для статистического вывода.

Используется при доказательстве теоремы Колмогорова. Пусть функция распределения $F(x)$ непрерывна, рассмотрим случайную величину

$D_{n}=\sup \limits _{x\in \mathbb {R} }|{\hat {F}}_{n}(x)-F(x)|$, где

${\hat {F}}_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\mathbf {I} \{X_{j}\leqslant x\}$ – эмпирическая функция распределения.

Пусть $(W_{t},t\in [0,1])$ –  винеровский процесс.

Тогда ${\sqrt {n}}\cdot D_{n}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\max \limits _{t\in [0,1]}|W_{t}-tW_{1}|$, то есть максимальный разрыв $D_{n}$ между истинной функцией распределения и эмпирической (которую легко построить по имеющейся конечной выборке), умноженный на ${\sqrt {n}}$ (отвечает за скорость сходимости), стремится по распределению к максимуму на отрезке модуля броуновского моста.

Общий случай

В общем случае, когда $B(t_{1})=a$ и $B(t_{2})=b$, распределение $B(t)$ при $t\in (t_{1},t_{2})$ является нормальным:

$B(t)\sim N\left(a+{\frac {t-t_{1}}{t_{2}-t_{1}}}(b-a),{\frac {(t-t_{1})(t_{2}-t)}{t_{2}-t_{1}}}\right)$

Замечание

Предположим, мы сгенерировали последовательность точек W(0), W(1), W(2), W(3) и т.д. винеровского процесса с помощью компьютерной симуляции. Если мы захотим вставить дополнительную точку на интервале [0,1], то мы должны использовать броуновский мост, проходящий через W(0) и W(1).

См. также

• Гауссовский процесс
• Винеровский процесс
• англ. Glasserman, Paul. Monte Carlo Methods in Financial Engineering, ISBN 0-387-00451-3, Springer-Verlag New York, 2004