Булева алгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Эта статья об алгебраической системе. О разделе математической логики, изучающем высказывания и операции над ними, см. Алгебра логики.

Булевой алгеброй[1][2][3] называется непустое множество A с двумя бинарными операциями \land (аналог конъюнкции), \lor (аналог дизъюнкции), унарной операцией \lnot (аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для всех a, b и c из множества A верны следующие аксиомы:

 a \lor (b \lor c) = (a \lor b) \lor c  a \land (b \land c) = (a \land b) \land c ассоциативность
 a \lor b = b \lor a  a \land b = b \land a коммутативность
 a \lor (a \land b) = a  a \land (a \lor b) = a законы поглощения
 a \lor (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c)  a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c) дистрибутивность
 a \lor \lnot a = 1  a \land \lnot a = 0 дополнительность

Первые три аксиомы означают, что (A, \land, \lor) является решёткой. Таким образом, булева алгебра может быть определена как дистрибутивная решётка, в которой выполнены две последние аксиомы. Структура, в которой выполняются все аксиомы, кроме предпоследней, называется псевдобулевой алгеброй.

Некоторые свойства[править | править вики-текст]

Из аксиом видно, что наименьшим элементом является 0, наибольшим является 1, а дополнение ¬a любого элемента a однозначно определено. Для всех a и b из A верны также следующие равенства:

 a \lor a = a  a \land a = a
 a \lor 0 = a  a \land 1 = a
 a \lor 1 = 1  a \land 0 = 0
 \lnot 0 = 1  \lnot 1 = 0 дополнение 0 есть 1 и наоборот
 \lnot (a \lor b) = \lnot a \land \lnot b  \lnot (a \land b) = \lnot a \lor \lnot b законы де Моргана
 \lnot \lnot a = a . инволютивность отрицания, закон снятия двойного отрицания.

Основные тождества[править | править вики-текст]

В данном разделе повторяются свойства и аксиомы, описанные выше с добавлением ещё нескольких.

Сводная таблица свойств и аксиом, описанных выше:

 a \lor b = b \lor a  a \land b = b \land a 1 коммутативность, переместительность
 a \lor (b \lor c) = (a \lor b) \lor c  a \land (b \land c) = (a \land b) \land c 2 ассоциативность, сочетательность
3.1 конъюнкция относительно дизъюнкции  a \lor (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c) 3.2 дизъюнкция относительно конъюнкции  a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c) 3 дистрибутивность, распределительность
 a \lor \lnot a = 1  a \land \lnot a = 0 4 комплементность, дополнительность (свойства отрицаний)
 \lnot (a \lor b) = \lnot a \land \lnot b  \lnot (a \land b) = \lnot a \lor \lnot b 5 законы де Моргана
 a \lor (a \land b) = a  a \land (a \lor b) = a 6 законы поглощения
a \lor(\lnot a \land b) = a \lor b a \land(\lnot a \lor b) = a \land b 7 Блейка-Порецкого
 a \lor a = a  a \land a = a 8 Идемпотентность
 \lnot \lnot a = a 9 инволютивность отрицания, закон снятия двойного отрицания
 a \lor 0 = a  a \land 1 = a 10 свойства констант
 a \lor 1 = 1  a \land 0 = 0
дополнение 0 есть 1  \lnot 0 = 1 дополнение 1 есть 0  \lnot 1 = 0
 (a \lor b)\land(\lnot a \lor b)=b   (a \land b) \lor (\lnot a \land b)=b 11 Склеивание

См. также Алгебра логики

Примеры[править | править вики-текст]

  • Самая простая нетривиальная булева алгебра содержит всего два элемента, 0 и 1, а действия в ней определяются следующей таблицей:
0 1
0 0 0
1 0 1
0 1
0 0 1
1 1 1
a 0 1
¬a 1 0
  • Эта булева алгебра наиболее часто используется в логике, так как является точной моделью классического исчисления высказываний. В этом случае 0 называют ложью, 1 — истиной. Выражения, содержащие булевы операции и переменные, представляют собой высказывательные формы.
  • Алгебра Линденбаума — Тарского (фактормножество всех утверждений по отношению равносильности в данном исчислении с соответствующими операциями) какого-либо исчисления высказываний является булевой алгеброй. В этом случае истинностная оценка формул исчисления является гомоморфизмом алгебры Линденбаума — Тарского в двухэлементную булеву алгебру.
  • Множество всех подмножеств данного множества S образует булеву алгебру относительно операций ∨ := ∪ (объединение), ∧ := ∩ (пересечение) и унарной операции дополнения. Наименьший элемент здесь — пустое множество, а наибольший — всё S.
  • Если R — произвольное кольцо, то на нём можно определить множество центральных идемпотентов так:
    A = { eR : e² = e, ex = xe, ∀xR },
    тогда множество A будет булевой алгеброй с операциями ef := e + fef и ef := ef.

Принцип двойственности[править | править вики-текст]

В булевых алгебрах существуют двойственные утверждения, они либо одновременно верны, либо одновременно неверны. Именно, если в формуле, которая верна в некоторой булевой алгебре, поменять все конъюнкции на дизъюнкции, 0 на 1, ≤ на > и наоборот или < на ≥ и наоборот, то получится формула, также истинная в этой булевой алгебре. Это следует из симметричности аксиом относительно таких замен.

Представления булевых алгебр[править | править вики-текст]

Можно доказать, что любая конечная булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех подмножеств какого-то множества. Отсюда следует, что количество элементов в любой конечной булевой алгебре будет степенью двойки.

Знаменитая теорема Стоуна утверждает, что любая булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех открыто-замкнутых множеств какого-то компактного вполне несвязного хаусдорфова топологического пространства.

Аксиоматизация[править | править вики-текст]

В 1933 г. американский математик Хантингтон предложил следующую аксиоматизацию для булевых алгебр:

  1. Аксиома коммутативности: x + y = y + x.
  2. Аксиома ассоциативности: (x + y) + z = x + (y + z).
  3. Уравнение Хантингтона: n(n(x) + y) + n(n(x) + n(y)) = x.

Здесь использованы обозначения Хантингтона: + означает дизъюнкцию, n — отрицание.

Герберт Роббинс поставил следующий вопрос: можно ли сократить последнюю аксиому так, как написано ниже, то есть будет ли определённая выписанными ниже аксиомами структура булевой алгеброй?

Аксиоматизация алгебры Роббинса:

  1. Аксиома коммутативности: x + y = y + x.
  2. Аксиома ассоциативности: (x + y) + z = x + (y + z).
  3. Уравнение Роббинса: n(n(x + y') + n(x + n(y))) = x.

Этот вопрос оставался открытым с 30-х годов и был любимым вопросом Тарского и его учеников.

В 1996 г. Вильям МакКьюн, используя некоторые полученные до него результаты, дал утвердительный ответ на этот вопрос. Таким образом, любая алгебра Роббинса является булевой алгеброй.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. D. A. Vladimirov. Springer Online Reference Works - Boolean algebra (англ.). Springer-Verlag (2002). Проверено 4 августа 2010. Архивировано из первоисточника 9 февраля 2012.
  2. Владимиров Д. А. Булевы алгебры. — М.: «Наука», 1969. — С. 19.
  3. Кузнецов О. П., Адельсон-Вельский Г. М. Дискретная математика для инженера. — М.: Энергоатомиздат, 1988. — С. 58.

Литература[править | править вики-текст]