Булева алгебра

Эта статья об алгебраической системе. О разделе математической логики, изучающем высказывания и операции над ними, см. Алгебра логики.

Булевой алгеброй называется непустое множество A с двумя бинарными операциями $\land$ (аналог конъюнкции), $\lor$ (аналог дизъюнкции), унарной операцией $\lnot$ (аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для всех a, b и c из множества A верны следующие аксиомы:

$a \lor (b \lor c) = (a \lor b) \lor c$	$a \land (b \land c) = (a \land b) \land c$	ассоциативность
$a \lor b = b \lor a$	$a \land b = b \land a$	коммутативность
$a \lor (a \land b) = a$	$a \land (a \lor b) = a$	законы поглощения
$a \lor (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c)$	$a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c)$	дистрибутивность
$a \lor \lnot a = 1$	$a \land \lnot a = 0$	дополнительность

В нотации · + ¯  

$\begin{align} & a+(b+c)=(a+b)+c & a(bc)=(ab)c \\ & a+b=b+a & ab=ba \\ & a+ab=a & a(a+b)=a \\ & a+bc=(a+b)(a+c) & a(b+c)=ab+ac \\ & a+\bar{a}=1 & a\bar{a} = 0 \end{align}$

Первые три аксиомы означают, что (A, $\land$, $\lor$) является решёткой. Таким образом, булева алгебра может быть определена как дистрибутивная решётка, в которой выполнены две последние аксиомы. Структура, в которой выполняются все аксиомы, кроме предпоследней, называется псевдобулевой алгеброй.

Некоторые свойства

Из аксиом видно, что наименьшим элементом является 0, наибольшим является 1, а дополнение ¬a любого элемента a однозначно определено. Для всех a и b из A верны также следующие равенства:

$a \lor a = a$;	$a \land a = a$;
$a \lor 0 = a$;	$a \land 1 = a$;
$a \lor 1 = 1$;	$a \land 0 = 0$;
$\lnot 0 = 1$;	$\lnot 1 = 0$;	дополнение 0 есть 1 и наоборот
$\lnot (a \lor b) = \lnot a \land \lnot b$;	$\lnot (a \land b) = \lnot a \lor \lnot b$;	законы де Моргана
$\lnot \lnot a = a$.		инволютивность отрицания

Основные тождества

В данном разделе повторяются свойства и аксиомы, описанные выше с добавлением ещё нескольких.

Сводная таблица свойств и аксиом, описанных выше:

$a \lor b = b \lor a$;	$a \land b = b \land a$.	1 коммутативность переместительность
$a \lor (b \lor c) = (a \lor b) \lor c$;	$a \land (b \land c) = (a \land b) \land c$.	2 ассоциативность сочетательность
3.1 конъюнкция относительно дизъюнкции $a \lor (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c)$	3.2 дизъюнкция относительно конъюнкции $a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c)$	3 дистрибутивность распределительность
$a \lor \lnot a = 1$;	$a \land \lnot a = 0$.	4 комплементность дополнительность (свойства отрицаний)
$\lnot (a \lor b) = \lnot a \land \lnot b$;	$\lnot (a \land b) = \lnot a \lor \lnot b$.	5 законы де Моргана
$a \lor (a \land b) = a$;	$a \land (a \lor b) = a$.	6 законы поглощения
$a \lor(\lnot a \land b) = a \lor b$;	$a \land(\lnot a \lor b) = a \land b$.	7 Блейка-Порецкого
$a \lor a = a$;	$a \land a = a$.	8 Идемпотентность
$\lnot \lnot a = a$.		9 инволютивность отрицания
$a \lor 0 = a$;	$a \land 1 = a$.	10 свойства констант
$a \lor 1 = 1$;	$a \land 0 = 0$.
дополнение 0 есть 1 $\lnot 0 = 1$;	дополнение 1 есть 0 $\lnot 1 = 0$.
$(a \lor b)\land(\lnot a \lor b)=b$;	$(a \land b) \lor (\lnot a \land b)=b$.	11 Склеивание

См. также Алгебра логики

Примеры

• Самая простая нетривиальная булева алгебра содержит всего два элемента, 0 и 1, а действия в ней определяются следующей таблицей:

∧ 0 1 0 0 0 1 0 1

∨ 0 1 0 0 1 1 1 1

a 0 1 ¬a 1 0

• Эта булева алгебра наиболее часто используется в логике, так как является точной моделью классического исчисления высказываний. В этом случае 0 называют ложью, 1 — истиной. Выражения, содержащие булевы операции и переменные, представляют собой высказывательные формы.

• Алгебра Линденбаума — Тарского (фактормножество всех утверждений по отношению равносильности в данном исчислении с соответствующими операциями) какого-либо исчисления высказываний является булевой алгеброй. В этом случае истинностная оценка формул исчисления является гомоморфизмом алгебры Линденбаума — Тарского в двухэлементную булеву алгебру.

• Множество всех подмножеств данного множества S образует булеву алгебру относительно операций ∨ := ∪ (объединение), ∧ := ∩ (пересечение) и унарной операции дополнения. Наименьший элемент здесь — пустое множество, а наибольший — всё S.

• Если R — произвольное кольцо, то на нём можно определить множество центральных идемпотентов так:
  A = { e ∈ R : e² = e, ex = xe, ∀x ∈ R },
  тогда множество A будет булевой алгеброй с операциями e ∨ f := e + f − ef и e ∧ f := ef.

Принцип двойственности

В булевых алгебрах существуют двойственные утверждения, они либо одновременно верны, либо одновременно неверны. Именно, если в формуле, которая верна в некоторой булевой алгебре, поменять все конъюнкции на дизъюнкции, 0 на 1, ≤ на ≥ и наоборот, то получится формула, также истинная в этой булевой алгебре. Это следует из симметричности аксиом относительно таких замен.

Представления булевых алгебр

Можно доказать, что любая конечная булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех подмножеств какого-то множества. Отсюда следует, что количество элементов в любой конечной булевой алгебре будет степенью двойки.

Знаменитая теорема Стоуна утверждает, что любая булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех открыто-замкнутых множеств какого-то компактного вполне несвязного хаусдорфова топологического пространства.

Аксиоматизация

В 1933 г. американский математик Хантингтон предложил следующую аксиоматизацию для булевых алгебр:

1. Аксиома коммутативности: x + y = y + x.
2. Аксиома ассоциативности: (x + y) + z = x + (y + z).
3. Уравнение Хантингтона: n(n(x) + y) + n(n(x) + n(y)) = x.

Здесь использованы обозначения Хантингтона: + означает дизъюнкцию, n — отрицание.

Герберт Роббинс поставил следующий вопрос: можно ли сократить последнюю аксиому так, как написано ниже, то есть будет ли определённая выписанными ниже аксиомами структура булевой алгеброй?

Аксиоматизация алгебры Роббинса:

1. Аксиома коммутативности: x + y = y + x.
2. Аксиома ассоциативности: (x + y) + z = x + (y + z).
3. Уравнение Роббинса: n(n(x + y') + n(x + n(y))) = x.

Этот вопрос оставался открытым с 30-х годов и был любимым вопросом Тарского и его учеников.

В 1996 г. Вильям МакКьюн, используя некоторые полученные до него результаты, дал утвердительный ответ на этот вопрос. Таким образом, любая алгебра Роббинса является булевой алгеброй.

См. также

• Алгебра логики
• Булева функция
• Битовые операции

Литература

• Владимиров Д. А. Булевы алгебры. — М.: «Наука», 1969. — 320 с.
• Иванов Б. Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы. Расширенный курс. — М.: «Известия», 2011. — 512 с. — ISBN 978-5-206-00824-1
• Кузнецов О. П., Адельсон-Вельский Г. М. Дискретная математика для инженера. — М.: Энергоатомиздат, 1988. — 480 с.

Дискретная математика