Бутылка Клейна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Бутылка Клейна, погружённая в трёхмерное пространство

Бутылка Клейна — неориентируемая (односторонняя) поверхность, впервые описанная в 1882 году немецким математиком Ф. Клейном. Она тесно связана с лентой Мёбиуса и проективной плоскостью. Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка); затем это название вернулось в таком виде в немецкий.

Чтобы построить модель бутылки Клейна, понадобится бутылка с двумя дополнительными отверстиями: в донышке и в стенке. Горлышко бутылки нужно вытянуть, изогнуть вниз и, продев его через отверстие в стенке, присоединить к отверстию на дне бутылки. Для настоящей бутылки Клейна в четырёхмерном пространстве отверстие в стенке не нужно, но без него нельзя обойтись в трёхмерном евклидовом пространстве.

KleinBottle-topology-01.png

В отличие от обыкновенного стакана, у этого объекта нет «края», где бы поверхность резко заканчивалась. В отличие от воздушного шара, можно пройти путь изнутри наружу, не пересекая поверхность (то есть на самом деле у этого объекта нет «внутри» и нет «снаружи»).

Более формально, бутылку Клейна можно получить склеиванием квадрата [0,1]\times [0,1], отождествляя точки (0,y) \sim (1,y) при 0\leqslant y\leqslant 1 и (x,0) \sim (1-x,1) при 0\leqslant x \leqslant 1, как показано на диаграмме.

Свойства[править | править вики-текст]

Рассечения[править | править вики-текст]

При рассечении бутылки Клейна получается лента Мёбиуса
Реализация бутылки Клейна в виде восьмерки

Если разрезать бутылку Клейна пополам вдоль её оси симметрии, то результатом будет лента Мёбиуса, изображенная справа (необходимо помнить, что изображенного пересечения на самом деле нет).

Параметризация[править | править вики-текст]

Бутылка Клейна в виде восьмёрки имеет довольно простую параметризацию:

x = \left(r + \cos\frac{u}{2}\sin v - \sin\frac{u}{2}\sin 2v\right) \cos u
y = \left(r + \cos\frac{u}{2}\sin v - \sin\frac{u}{2}\sin 2v\right) \sin u
z = \sin\frac{u}{2}\sin v + \cos\frac{u}{2}\sin 2v

В этом виде самопересечение имеет форму геометрического круга в плоскости XY. Константа r равна радиусу круга. Параметр u задаёт угол на плоскости XY и v обозначает положение около 8-образного сечения.

Бутылка Клейна в культуре[править | править вики-текст]

Стеклянная бутылка Клейна
  • Изредка встречается сувенир в виде стеклянной бутылки Клейна. Для изготовления такой бутылки нужен стеклодув высокой квалификации. В том месте, где бутылка пересекает сама себя, приходится оставлять отверстие, чтобы внутреннее пространство бутылки не было изолированным.
  • В сериале «Футурама» в серии «The Route of All Evil» на полке показано пиво Klein’s, которое разлито в бутылки Клейна.
  • В рассказе математика и писателя Мартина Гарднера «Остров пяти красок» в бутылке Клейна исчезает один из героев произведения.
  • В рассказе писателя Дэна Шорина «Бутылочка профессора Клейна», входящем в межавторский цикл Южная Пристань в качестве сюжетообразующего элемента рассматривается гомеоморфность бутылки Клейна.
  • В рассказе Брюса Эллиота «Последний иллюзионист» бутылка Клейна используется для мести ассистентом фокусника за смертельно опасную беременность марсианской девушки. Из-за преднамеренной ошибки ассистента фокусник застревает в горлышке огромной бутылки Клейна, наполовину внутри бутылки, наполовину вне её. Автором рассказа утверждается, что фокусника нельзя освободить, так как бутылку Клейна нельзя разбить, не разрезав застрявшего фокусника пополам.
  • В книге Александра Митича «Игра в поддавки» герои попадают в пространство, подобное бутылке Клейна.
  • Встречается в манге. Так, в научно-фантастической «14 years old» бутылка Клейна была наделена способностью изменять пространство образом, изменяющим размеры тел при прохождении соответствующего её участка.
  • В рассказе А. Дж. Дейча «Лист Мёбиуса» теряется один из поездов в метро, которое из-за своей сложности сравнивается с бутылкой Клейна.
  • Бутылке Клейна посвящён один из шуточных лимериков Джеймса Линдона[1]:

     Некто Клейн, не любивший вина,
     Раз придумал бутылку без дна.
       Восклицал он: «К тому же
       Что внутри — в ней снаружи!
     Даже пробка совсем не нужна!»

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Матвеев, Михаил. Путешествие по ПаЛиндондромии с Джеймсом Линдоном // Знание-сила. — 2012. — № 3. — С. 110—116 . — ISSN 0130-1640. В оригинале:

      An anti-strong-drinker named Klein
      Invented a bottle for wine.
        «There's no stopper», he cried,
        «And it has no inside,
      So the grapes have to stay on the vine!»

    См. также Klein Bottle Cartoons, Limericks, Rhymes, and Haiku

Ссылки[править | править вики-текст]