Бутылка Клейна

Бутылка Клейна, погружённая в трёхмерное пространство.

Бутылка Клейна — это определённая неориентируемая поверхность (то есть двумерное многообразие). Бутылка Клейна впервые была описана в 1882 г. немецким математиком Ф. Клейном. Она тесно связана с лентой Мёбиуса и проективной плоскостью. Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка); затем это название вернулось в таком виде в немецкий.

Чтобы построить модель бутылки Клейна, необходимо взять бутылку с двумя отверстиями: в донышке и в стенке, вытянуть горлышко, изогнуть его вниз, и продев его через отверстие в стенке бутылки (для настоящей бутылки Клейна в четырёхмерном пространстве это отверстие не нужно, но без него нельзя обойтись в трёхмерном евклидовом пространстве), присоединить к отверстию на дне бутылки.

В отличие от обыкновенного стакана у этого объекта нет «края», где бы поверхность резко заканчивалась. В отличие от воздушного шара можно пройти путь изнутри наружу не пересекая поверхность (то есть на самом деле у этого объекта нет «внутри» и нет «снаружи»).

Более формально, бутылку Клейна можно получить склеиванием квадрата $[0,1]\times [0,1]$, идентифицируя точки (0,y) ~ (1,y) при $0\leqslant y\leqslant 1$ и (x,0) ~ (1-x,1) при $0\leqslant x \leqslant 1$, как показано на диаграмме.

Свойства

• Подобно ленте Мёбиуса, бутылка Клейна является двумерным дифференцируемым неориентируемым многообразием. В отличие от ленты Мёбиуса, бутылка Клейна является замкнутым многообразием, то есть компактным многообразием без края.
• Бутылка Клейна не может быть вложена (только погружена) в трёхмерное евклидово пространство $\R^3$, но вкладывается в $\R^4$.
• Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю. Однако в обычном трехмерном евклидовом пространстве $\R^3$ сделать это, не создав самопересечения, невозможно.
• Хроматическое число поверхности равно 6.

Рассечения

При рассечении бутылки Клейна получается лента Мёбиуса

Реализация бутылки Клейна в виде восьмерки

Если разрезать бутылку Клейна пополам вдоль её оси симметрии, то результатом будет лента Мёбиуса, изображенная справа (необходимо помнить, что изображенного пересечения на самом деле нет).

Параметризация

Бутылка Клейна в виде восьмёрки имеет довольно простую параметризацию:

$x = \left(r + \cos\frac{u}{2}\sin v - \sin\frac{u}{2}\sin 2v\right) \cos u$

$y = \left(r + \cos\frac{u}{2}\sin v - \sin\frac{u}{2}\sin 2v\right) \sin u$

$z = \sin\frac{u}{2}\sin v + \cos\frac{u}{2}\sin 2v$

В этом виде самопересечение имеет форму геометрического круга в плоскости XY. Константа r равна радиусу круга. Параметр u задаёт угол на плоскости XY и v обозначает положение около 8-образного сечения.

Бутылка Клейна в культуре

Стеклянная бутылка Клейна

• Изредка встречается сувенир в виде стеклянной бутылки Клейна. Для изготовления такой бутылки нужен стеклодув высокой квалификации. В том месте, где бутылка пересекает сама себя, приходится оставлять отверстие, чтобы внутреннее пространство бутылки не было изолированным.
• В сериале «Футурама» в серии «The Route of All Evil» на полке показано пиво Klein’s, которое разлито в бутылки Клейна.
• В рассказе математика и писателя Мартина Гарднера «Остров пяти красок» в бутылке Клейна исчезает один из героев произведения.
• В рассказе писателя Дэна Шорина «Бутылочка профессора Клейна», входящем в межавторский цикл Южная Пристань в качестве сюжетообразующего элемента рассматривается гомеоморфность бутылки Клейна.
• В книге Александра Митича «Игра в поддавки» герои попадают в пространство, подобное бутылке Клейна
• В декабре 2008 года в Санкт-Петербурге вышел сборник абсурдистской прозы и поэзии из серии Петраэдр под названием «За бутылочкой Клейна».
• Ваза Клейна была так же упомянута в книге Бернара Вербера «Энциклопедия Относительного и Абсолютного знания».

См. также

• Топология
• Алгебраическая топология
• Поверхность
• Лист Мёбиуса

Ссылки

• Топология для школьников
• Бутылка Клейна своими руками
• Магазин стеклянных бутылок Клейна
• Игры Торус Свободно распространяемые игры для Windows и Mac OS X, иллюстрирующие топологию тора и бутылки Клейна
• Анимационный фильм о Бутылке Клейна, созданный в 2010 г. при Свободном Университете г. Берлин (Freie Universität Berlin), включает изображение поездки по Бутылке и изначальное описание Феликса Клейна.