Бутылка Клейна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск
Бутылка Клейна, погружённая в трёхмерное пространство.

Бутылка Клейна — это определённая неориентируемая поверхность (то есть двумерное многообразие). Бутылка Клейна впервые была описана в 1882 г. немецким математиком Ф. Клейном. Она тесно связана с лентой Мёбиуса и проективной плоскостью. Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка).

Чтобы построить модель бутылки Клейна, необходимо взять бутылку с двумя отверстиями: в донышке и в стенке, вытянуть горлышко, изогнуть его вниз, и продев его через отверстие в стенке бутылки (для настоящей бутылки Клейна в четырёхмерном пространстве это отверстие не нужно, но без него нельзя обойтись в трёхмерном евклидовом пространстве), присоединить к отверстию на дне бутылки.

В отличие от обыкновенного стакана у этого объекта нет «края», где бы поверхность резко заканчивалась. В отличие от воздушного шара можно пройти путь изнутри наружу не пересекая поверхность (то есть на самом деле у этого объекта нет «внутри» и нет «снаружи»).

Более формально, бутылку Клейна можно получить склеиванием квадрата [0,1]\times [0,1] идентифицируя точки (0,y) ~ (1,y) при 0\leqslant y\leqslant 1 и (x,0) ~ (1-x,1) при 0\leqslant x \leqslant 1, как показано на диаграмме.

Содержание

[править] Свойства

  • Подобно ленте Мёбиуса, бутылка Клейна является двумерным дифференцируемым неориентируемым многообразием. В отличие от ленты Мёбиуса, бутылка Клейна является замкнутым многообразием, то есть компактным многообразием без края.
  • Бутылка Клейна не может быть вложена (только погружена) в трёхмерное евклидово пространство \R^3, но вкладывается в \R^4.
  • Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю. Однако в обычном трехмерном евклидовом пространстве \R^3 сделать это, не создав самопересечения, невозожно.
  • Хроматическое число поверхности равно 6.

[править] Рассечения

При рассечении бутылки Клейна получается лента Мёбиуса
Реализация бутылки Клейна в виде восьмерки

Если разрезать бутылку Клейна пополам вдоль её оси симметрии, то результатом будет лента Мёбиуса, изображенная справа (необходимо помнить, что изображенного пересечения на самом деле нет).

[править] Параметризация

Классическая параметризация Бутылки Клейна:

При 0\le\;u\le\;\pi\;

x=6\cos u(1+\sin u)+4r(1-\frac{\cos u}{2})\cos u\cos v
y=16\sin u+4r(1-\frac{\cos u}{2})\sin u\cos v
z=4r(1-\frac{\cos u}{2})\sin v

При \pi\ \le\;u\le\;2\pi\;

x=6\cos u(1+\sin u)-4r(1-\frac{\cos u}{2})\cos v
y = 16sinu
z=4r(1-\frac{\cos u}{2})\sin v

Бутылка Клейна в виде восьмёрки имеет довольно простую параметризацию:

x = \left(r + \cos\frac{u}{2}\sin v - \sin\frac{u}{2}\sin 2v\right) \cos u
y = \left(r + \cos\frac{u}{2}\sin v - \sin\frac{u}{2}\sin 2v\right) \sin u
z = \sin\frac{u}{2}\sin v + \cos\frac{u}{2}\sin 2v

В этом виде самопересечение имеет форму геометрического круга в плоскости XY. Константа r равна радиусу круга. Параметр u задаёт угол на плоскости XY и v обозначает положение около 8-образного сечения.

[править] Бутылка Клейна в культуре

Стеклянная бутылка Клейна
  • Изредка встречается сувенир в виде стеклянной бутылки Клейна. Для изготовления такой бутылки нужен стеклодув высокой квалификации. В том месте, где бутылка пересекает сама себя, по технологическим причинам приходится оставлять отверстие.
  • В сериале Футурама в серии «The Route of All Evil» на полке показано пиво Klein’s, которое разлито в бутылки Клейна.
  • В рассказе математика и писателя Мартина Гарднера «Остров пяти красок» в бутылке Клейна исчезает один из героев произведения.

[править] См. также

[править] Ссылки

Бутылка Клейна на Викискладе?
Источник — «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%83%D1%82%D1%8B%D0%BB%D0%BA%D0%B0_%D0%9A%D0%BB%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B0»