Быстрота

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Быстрота́ (англ. rapidity) — в релятивистской кинематике монотонно возрастающая функция скорости, которая стремится к бесконечности, когда скорость стремится к скорости света. В отличие от скорости, для которой закон сложения нетривиален, для быстроты характерен простой закон сложения («быстрота аддитивна»).

Определение и свойства[править | править исходный текст]

Быстрота выражается формулой:

\theta=c\,\mathrm{Arth}\,\frac{v}{c}=\frac{c}{2}\ln\frac{1+\dfrac{v}{c}}{1-\dfrac{v}{c}},

где

  • ~\theta — быстрота,
  • ~v — обычная скорость,
  • ~c — скорость света,
  • \mathrm{Arth}\,x — ареатангенс.

Ареатангенс (или гиперболический арктангенс) \mathrm{Arth}\,x\equiv\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x} определён в области значений аргумента от −1 до +1; при x\to\plusmn 1 \mathrm{Arth}\,x\to\plusmn\infty.

Таким образом, быстрота имеет размерность скорости и при изменении скорости от ~-c до ~+c меняется от -\infty до +\infty. Иногда вводят также параметр быстроты \varphi\equiv\theta/c\equiv\mathrm{Arth}\,\frac{v}{c} — безразмерную величину, которую иногда также называют быстротой.

В пределе малых скоростей быстрота примерно равна скорости:

\theta\approx v\left(1+\frac{1}{3}\left(\frac{v}{c}\right)^2\right) при v\ll c.

Фактор Лоренца[править | править исходный текст]

Связанная с быстротой часто используемая величина — фа́ктор Ло́ренца, или Ло́ренц-фа́ктор, названный по имени Г. А. Лоренца и определяемый как

 \gamma \equiv \frac {1} {\sqrt{ 1 - v^2 / c^2}}.

Лоренц-фактор равен гиперболическому косинусу параметра быстроты:

\gamma=\mathrm{ch}\,\varphi.

С увеличением скорости от 0 до ~c Лоренц-фактор ~\gamma увеличивается от 1 до +\infty.

Аддитивность быстроты[править | править исходный текст]

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчёта ~K две частицы движутся вдоль одной прямой, скорость одной из них равна ~v_1, а скорость второй относительно первой равна ~v'_2 (скорости могут быть как положительными, так и отрицательными). Обозначим скорость второй частицы в системе ~K через ~v_2. При малых (по сравнению со скоростью света ~c) скоростях приближённо выполняется галилеевский закон сложения скоростей ~v_2=v_1+v'_2. Однако в релятивистском случае эта формула не действует, и скорость второй частицы необходимо вычислять с помощью лоренцевых преобразований. Релятивистский закон сложения скоростей

v_2=\frac{v_1+v'_2}{1+\dfrac{v_1v'_2}{c^2}}

отличается от галилеевского знаменателем, который при малых скоростях близок к единице. Рассмотрим соответствующие скоростям быстроты \theta \equiv c\,\mathrm{Arth}\frac{v}{c}. Оказывается, что быстрота второй частицы в системе отсчёта K равна сумме быстрот:

~\theta_2=\theta_1+\theta'_2.

Удобство записи закона сложения скоростей в терминах быстрот привело к тому, что эта величина довольно широко используется в релятивистской кинематике, особенно в ускорительной физике. Однако следует помнить, что сложение быстрот совпадает по виду с галилеевским векторным сложением скоростей только при одномерном движении частиц.

Геометрический смысл быстроты[править | править исходный текст]

В пространстве Минковского быстрота представляет собой угол между касательной к мировой линии частицы и осью времени в базовой системе отсчёта. В формализме Минковского (x_0 = ict) этот угол является мнимым.

В формализме гиперболических комплексных чисел (известных также как двойные числа или паракомплексные числа — вариант комплексных чисел, в которых мнимая единица j определяется соотношением j2=+1) точка в пространстве Минковского представляется паракомплексным числом z = ρejφ = ρ(ch φ + jsh φ), где φ и ρ — действительные. При этом угол φ является быстротой частицы, движущейся равномерно из начала отсчёта и проходящей через точку z, а ρ — интервалом от начала отсчёта до точки z (то есть собственным временем частицы, протекшим от прохождения через начало отсчёта до прохождения через z). Лоренц-преобразование определяется умножением пространственно-временных координат, выраженных паракомплексными числами, на паракомплексное число с единичным модулем λ(φ) = ejφ. В результате все интервалы сохраняются, а паракомплексная плоскость Минковского поворачивается на угол φ. Два последовательных Лоренц-преобразования демонстрируют аддитивность быстроты:

λ(φ)·λ(θ) = ejφ·ejθ = ej(φ+θ) = λ(φ+θ).

Некоторые величины специальной теории относительности, выраженные через быстроту[править | править исходный текст]

Релятивистский импульс:

~p=mc\cdot\mathrm{sh}\,\frac{\theta}{c},

где:

  • ~m — масса,
  • ~c — скорость света.

Полная энергия:

~E=E_0\cdot\mathrm{ch}\,\frac{\theta}{c},

где ~E_0 — энергия покоя.

Скорость в СТО:

~v=c\cdot\mathrm{th}\,\frac{\theta}{c}.

Релятивистский эффект Доплера (если вектор скорости совпадает с направлением на источник):

~1+z=e^{\theta/c},

где ~z — параметр красного смещения.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]