Вариация Харди

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Вариация Харди — одна из числовых характеристик функции нескольких переменных.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть имеется функция f(x)=f(x_1,\;\ldots,\;x_n),\;n=2,\;3,\;\ldots, заданная на n-мерном параллелепипеде

D_n=[a_1,\;b_1]\times[a_2,\;b_2]\times\ldots\times[a_n,\;b_n].

Зададимся произвольным разбиением \pi параллелепипеда гиперплоскостями

x_s=x_s^{(r_s)},\quad r_s=0,\;1,\;2,\;\ldots,\;l_s;\;s=1,\;2,\;\ldots,\;n,
x_s^{(r_s)}<x_s^{(r_s+1)},\;x_s^{(0)}=a_s,\;x_s^{(l_s)}=b_s,\;h_s^{(r_s)}=x_s^{(r_s+1)}-x_s^{(r_s)}

на n-мерные параллелепипеды.

Рассмотрим класс \tilde H_n всех функций, для которых

\tilde H_n=\sup_\pi\sum_{r_1=0}^{l_1-1}\sum_{r_2=0}^{l_2-1}\ldots\sum_{r_n=0}^{l_n-1}\left|\Delta_{h_1^{(r_1)}h_2^{(r_2)}\ldots h_n^{(r_n)}}(f;\;x_1^{(r_1)},\;x_2^{(r_2)},\;\ldots,\;x_n^{(r_n)})\right|<\infty,

где

\Delta_{h_1h_2\ldots h_n}(f;\;x)=\Delta_{h_k}(\Delta_{h_1h_2\ldots h_{k-1}};\;x),\quad k=2,\;3,\;\ldots,\;n;
\Delta_{h_k}(f;\;x)=f(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_k+h_k,\;\ldots,\;x_n)-
-f(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_k,\;\ldots,\;x_n),\quad\;k=1,\;2,\;\ldots,\;n.

Пусть, теперь, \alpha=(\alpha_1,\;\alpha_2,\;\ldots,\;\alpha_s),\;s=1,\;2,\;\ldots,\;n-1 — целочисленный вектор, координаты которого удовлетворяют неравенствам 1\leqslant\alpha_1<\alpha_2<\ldots<\alpha_s\leqslant n, и \bar\alpha — целочисленный вектор размерности n-s такой, что его координаты образуют строго возрастающую последовательность и состоят из всех тех чисел 1,\;2,\ldots,\;n, которые не содержатся среди чисел \alpha_1,\;\alpha_2,\;\ldots,\;\alpha_s. Тогда каждую точку x\in D_n можно записать в виде x=(x^\alpha,\;x^{\bar\alpha}). Если координаты x_{\alpha_1},\;x_{\alpha_2},\;\ldots,\;x_{\alpha_s} точки x\in D_n фиксированы на значениях \overset{\circ}{x}_{\alpha_1},\;\overset{\circ}{x}_{\alpha_2},\;\ldots,\;\overset{\circ}{x}_{\alpha_s}, то будем писать x=(\overset{\circ}{x}{}^\alpha,\;x^{\bar\alpha}).

Вариация Xарди функции f(x) на D_n:

H(f,\;D_n)\,\overset{\mathrm{def}}{=}\sup_\alpha\,\sup_{\overset{\circ}{x}{}^\alpha}\tilde H_{n-s}\left(f(\overset{\circ}{x}{}^\alpha,\;x^{\bar\alpha})\right).

Если H(f,\;D_n)<\infty, то говорят, что функция f(x) имеет ограниченную (конечную) вариацию Харди на параллелепипеде D_n, а класс всех таких функций обозначается H(D_n).

История[править | править вики-текст]

Первоначально класс H(D_n) при n=2 был введён Г. Харди[1] (G. Н. Hardy) в связи с исследованием сходимости двойных рядов Фурье[2]. Он доказал, что прямоугольные частичные суммы двойного ряда Фурье функции f(x_1,\;x_2) класса H(Q_2) (Q_2=[0,\;2\pi]\times[0,\;2\pi]), имеющей период 2\pi по каждой переменной, сходятся в каждой точке (x_1,\;x_2) к числу

\frac{1}{4}\{f(x_1+0,\;x_2+0)+f(x_1+0,\;x_2-0)+f(x_1+0,\;x_2-0)+f(x_1-0,\;x_2-0)\},

где

f(x\pm 0,\;x_2\pm 0)\,\overset{\mathrm{def}}{=}\lim_{\begin{smallmatrix} \varepsilon_1\to+0 \\ \varepsilon_2\to+0 \end{smallmatrix}}f(x_1\pm\varepsilon_1,\;x_2\pm\varepsilon_1).

Для того чтобы функция f(x) входила в класс H(D_n), необходимо и достаточно, чтобы её можно было представить в виде f(x)=f_1(x)-f_2(x), где f_1 и f_2 такие конечные на D_n функции, что \Delta_{h_1h_2\ldots h_n}(f;\;x)\geqslant 0,\;k=2,\;3,\;\ldots,\;n, при всех x\in D_n и допустимых приращениях h_1,\;h_2,\;\ldots,\;h_n. Класс H(D_n) содержится в классе A(D_n) функций, имеющих ограниченную вариацию Арцела на D_n.

Литература[править | править вики-текст]

  • Буланов А. П. Рациональные приближения функций многих переменных с конечной вариацией Харди // Математический сборник. — 1995. — т. 186. — № 11. — с. 53—74.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Hardy G. Н. The Quarterly Journal of Mathematics. — 1905. — v. 37. — № 1. — p. 57—79.
  2. Hahn, H. Theorie der reellen Funktionen. — Bd 1. — В.: Springer, 1921.