Вариация функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математическом анализе вариацией функции называется числовая характеристика функции одного действительного переменного, связанная с её дифференциальными свойствами. Для функции из отрезка на вещественной прямой в \R^n является обобщением понятия длины кривой, задаваемой в \R^n этой функцией.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть f:[a,\;b]\to\R^n. Тогда вариацией (также полной вариацией или полным изменением) функции f на отрезке [a,\;b] называется следующая величина:

V_a^b f\,\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sup\limits_P\sum\limits_{k=0}^m\|f(x_{k+1})-f(x_k)\|,

то есть точная верхняя грань по всем разбиениям P отрезка [a,\;b] длин ломаных в \R^n, концы которых соответствуют значениям f в точках разбиения.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Функции, вариация которых ограничена на отрезке, называются функциями ограниченной вариации, а класс таких функций обозначается V[a,\;b] или просто V.
    • В таком случае определена функция v(x)=V_a^x f, называющаяся функцией полной вариации для f.
  • Положительная вариация вещественнозначной функции f на отрезке [a,\;b] называется следующая величина:
    P_a^b f\,\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sup\limits_{P}\sum\limits_{k=0}^m\max\{0,\;f(x_{k+1})-f(x_k)\}.
  • Аналогично определяется отрицательная вариация функции:
    N_a^b f\,\stackrel{\mathrm{def}}{=}-\inf\limits_{P}\sum\limits_{k=0}^m\min\{0,\;f(x_{k+1})-f(x_{k})\}.
  • Таким образом полная вариация функции может быть представлена в виде суммы
    V_a^b f=P_a^b f+N_a^b f.

Свойства функций ограниченной вариации[править | править вики-текст]

  • Сумма и произведение функций ограниченной вариации тоже будет иметь ограниченную вариацию. Частное двух функций из V будет иметь ограниченную вариацию (другими словами, принадлежать классу V), если модуль знаменателя будет больше, чем положительная постоянная на отрезке [a,\;b].
  • Если a<x\leqslant y<b, а f\in V[a,\;b], то V_a^x f+V_x^y f=V_a^y f.
  • Если функция f непрерывна в точке a справа и принадлежит V[a,\;b], то \lim\limits_{x\to a{+}}v(x)=0.
  • Функция f(x), заданная на отрезке [a,\;b], является функцией ограниченной вариации тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде суммы возрастающей и убывающей на [a,\;b] функции (разложение Жордана).
  • Всякая функция ограниченной вариации ограничена и может иметь не более чем счётное множество точек разрыва, причём все первого рода.
  • Функция ограниченной вариации может быть представлена в виде суммы абсолютно непрерывной функции, сингулярной функции и функции скачков (разложение Лебега).

Все эти свойства были установлены Жорданом[1][2].

Вычисление вариации[править | править вики-текст]

Вариация непрерывно дифференцируемой функции[править | править вики-текст]

Если функция f:[a,\;b]\to\R^n принадлежит классу C^1, то есть имеет непрерывную производную первого порядка на отрезке [a,\;b], то f — функция ограниченной вариации на этом отрезке, а вариация вычисляется по формуле:

\int\limits_a^b\|f^\prime(x)\|\,dx,

то есть равна интегралу нормы производной.

История[править | править вики-текст]

Функции ограниченной вариации изучались К. Жорданом[1].

Первоначально класс функций с ограниченной вариацией был введён К. Жорданом в связи с обобщением признака Дирихле сходимости рядов Фурье кусочно монотонных функций. Жордан доказал, что ряды Фурье 2\pi-периодичических функций класса V[0,\;2\pi] сходятся в каждой точке действительной оси. Однако в дальнейшем функции ограниченной вариации нашли широкое применение в различных областях математики, особенно в теории интеграла Стилтьеса.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Длина кривой определяется как естественное обобщение вариации на случай отображений в метрическое пространство.

В случае нескольких переменных существует несколько различных определений вариации функции:

Φ-вариация функции[править | править вики-текст]

Рассматривается также класс V_\Phi[a,\;b], который определяется следующим образом:

V_{\Phi\,a}^b f\,\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sup\limits_{a\leqslant x\leqslant b}\sum\limits_{k=1}^n\Phi(|f(x_k)-f(x_{k-1})|),

где \Phi(x) (x\geqslant 0,\;\Phi(0)=0) — положительная при x>0 монотонно возрастающая непрерывная функция;

a=x_0<x_1<\ldots<x_n=b — произвольное разбиение отрезка [a,\;b].

Величина  V_{\Phi\,a}^b f называется \Phi-вариацией функции f(x) на отрезке [a,\;b].

Если V_{\Phi\,a}^b f<\infty, то функция f(x) обладает ограниченной \Phi-вариацией на отрезке [a,\;b]. Класс всех таких функций обозначается через V_\Phi[a,\;b] или просто как V_\Phi[3]. Определение класса V_\Phi[a,\;b] предложено Л. Янгом (англ.)[4] (L. С. Young).

Частным случаем классов Янга являются классы Жордана, при этом \Phi(x)=x. Если \Phi(x)=x^p при 1<p<\infty, то получаются классы V_p Н. Винера[5] (N. Wiener).

Свойства[править | править вики-текст]

Если рассмотреть две функции \Phi_1(x) и \Phi_2(x) такие, что

\varlimsup_{x\to 0^+}\frac{\Phi_1(x)}{\Phi_2(x)}<\infty,

то для их \Phi-вариаций справедливо отношение:

V_{\Phi_2}[a,\;b]\subset V_{\Phi_1}[a,\;b].

В частности,

V_{x^p}\subset V_{x^q}\subset V_{\exp(-x^{-\alpha})}\subset V_{\exp(-x^{-\beta})}

при 1\leqslant p<q<\infty,\;0<\alpha<\beta<\infty.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Лебег, А. Интегрирование и отыскание примитивных функций / Пер. с франц. — М.—Л.: ОНТИ, 1934. — 324 с.
  • Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной. — М.: Наука, 1974. — 484 с.
  • Бари, Н. К. Тригонометрические ряды. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. — 936 с.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Jordan C. Comptes Rendus de l’Académie des Sciences. — 1881. — t. 92. — № 5. — p. 228—230.
  2. Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной. — М.: Наука, 1974. — С. 234—238. — 484 с.
  3. Бари, Н. К. Тригонометрические ряды. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. — С. 287. — 936 с.
  4. Young L. С. Comptes Rendus de l’Académie des Sciences. — 1937. — t. 204. — № 7. — p. 470—472.
  5. Wiener N. Massachusetts Journal of Mathematics and Physics. — 1924. — v. 3. — p. 72—94.