Вейвлеты Добеши

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Вейвлет Добеши порядка 2

Вейвлеты Добеши (англ. Daubechies Wavelet) — семейство ортогональных вейвлетов с компактным носителем, вычисляемым итерационным путем. Названы в честь математика из США, первой построившей данное семейство, Ингрид Добеши.

Построение вейвлетов Добеши[править | править вики-текст]

Для построения вейвлетов воспользуемся уравнением растяжения и вейвлет-уравнением
 \phi(t) = \sqrt{2}\sum_{k}h_{k}\phi(2t-k)
 \psi(t) = \sqrt{2}\sum_{k}g_{k}\phi(2t-k)
Компактность носителя функций \phi и \psi может быть достигнута, если будет выбрано конечное число h_{n}\ne0 таким образом, чтобы была достигнута ортогональность и гладкость вейвлета, либо чтобы выполнялось условие моментов. Для области Фурье условие ортогональности и гладкости выглядит следующим образом:
|m_{0}(\omega)|^{2}+|m_{0}(\omega+\pi)|^{2}=1, где |m_{0}(\omega)|=\sum_{n}\frac{h_{n}e^{-in\omega}}{\sqrt{2}} — тригонометрический полином,
при условии моментов \frac{d^{l}\psi{\omega}}{d\omega^{l}}|_{\omega=0}=0,для l=0,1,\dots,N-1
принимающий вид:
m_{0}(\omega)\propto\left( \frac{1+e^{i\omega}}{2} \right)^{N}
Если положить, что M_{0}(\omega)=|m_{0}(\omega)|^{2} — полином по \cos(\omega), то условие нулевых моментов дает M_{0}(\omega)=\cos^{2N}\left(\frac{\omega}{2}\right)L(\omega), где L(\omega)=P\sin^{2}\frac{\omega}{2} — полином по \cos(\omega)
Для поиска коэффициентов h_{n} необходимо получить m_{0}, выделив форму полинома P. Из условия ортогональности и условия нулевых моментов следует, что
P(y)=(1-y)^{-N}(1-y^{N}P(1-y)) (1)
Разложив (1-y)^{-N} до порядка N-1, получим явный вид полинома:
P(y)=(1-y)^{-N}(1-y^{N}P(1-y))=\sum_{k=0}^{N-1}	\begin{pmatrix} N+k-1 \\ k \end{pmatrix}y^{k}
Путем спектрального разложения на множители можно извлечь корни m_{0} из P:
m_{0}(\omega)=const\left(\frac{z+1}{2}\right)^{N}\prod_{j=1}^{N-1}(z-z_{j})
Искомые коэффициенты вейвлета \frac{h_{j}}{\sqrt{2}} будут являться коэффициентами при z^{j} в обратном порядке.

Также для построения вейвлетов данного типа используется каскадный алгоритм. Он позволяет поточечно строить масштабирующую функцию φ по известным коэффициентам h_{n}. На каждом шаге алгоритма функция φ уточняется по оси t в 2 раза. Далее при необходимости применяется сглаживание φ. После этого, зная φ и h_{n}, находится функция самого вейвлета ψ.

Ортогональные нормированные коэффициенты Добеши низких порядков[править | править вики-текст]

Ортогональные нормированные коэффициенты Добеши низких порядков
D2 (Хаар) D4 D6 D8 D10 D12 D14 D16 D18 D20
1 0.6830127 0.47046721 0.32580343 0.22641898 0.15774243 0.11009943 0.07695562 0.05385035 0.03771716
1 1.1830127 1.14111692 1.01094572 0.85394354 0.69950381 0.56079128 0.44246725 0.34483430 0.26612218
0.3169873 0.650365 0.8922014 1.02432694 1.06226376 1.03114849 0.95548615 0.85534906 0.74557507
-0.1830127 -0.19093442 -0.03957503 0.19576696 0.44583132 0.66437248 0.82781653 0.92954571 0.97362811
-0.12083221 -0.26450717 -0.34265671 -0.31998660 -0.20351382 -0.02238574 0.18836955 0.39763774
0.0498175 0.0436163 -0.04560113 -0.18351806 -0.31683501 -0.40165863 -0.41475176 -0.35333620
0.0465036 0.10970265 0.13788809 0.1008467 6.68194092e-4 -0.13695355 -0.27710988
-0.01498699 -0.00882680 0.03892321 0.11400345 0.18207636 0.21006834 0.18012745
-0.01779187 -0.04466375 -0.05378245 -0.02456390 0.043452675 0.13160299
4.71742793e-3 7.83251152e-4 -0.02343994 -0.06235021 -0.09564726 -0.10096657
6.75606236e-3 0.01774979 0.01977216 3.54892813e-4 -0.04165925
-1.52353381e-3 6.07514995e-4 0.01236884 0.03162417 0.04696981
-2.54790472e-3 -6.88771926e-3 -6.67962023e-3 5.10043697e-3
5.00226853e-4 -5.54004549e-4 -6.05496058e-3 -0.01517900
9.55229711e-4 2.61296728e-3 1.97332536e-3
-1.66137261e-4 3.25814671e-4 2.81768659e-3
-3.56329759e-4 -9.69947840e-4
5.5645514e-5 -1.64709006e-4
1.32354367e-4
-1.875841e-5

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]