Вейвлет Койфлет

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Вейвлет Койфлет порядка 1

К вейвлет-функциям с компактным носителем относятся вейвлеты Добеши, койфлеты и симмлеты. Метод построения вейвлет-функций с компактным носителем принадлежит Ингрид Добеши. Койфлеты являются частным случаем вейвлетов Добеши с нулевыми моментами скейлинг-функции.

Основные положения теории вейвлет-функций[править | править вики-текст]

Вейвлеты — ортонормированный базис в  L_2 . С помощью вейвлет-анализа можно выделить высокочастотные всплески, например, в экспериментальных данных. В отличие от анализа Фурье, применяемого в этих же целях, вейвлет-анализ позволяет выявить не только частотную составляющую информации, но и ее временную локализацию. Преимущества вейвлетов заключаются и в том, что для задачи приближения число спектральных коэффициентов много меньше числа спектральных коэффициентов Фурье. Это свойство используется в алгоритмах сжатия данных. Например, при одинаковом уровне сжатия по алгоритму JPEG и вейвлет-алгоритму, после восстановления, второй дает гораздо лучшее качество картинки [1].

Построение систем вейвлет-функций[править | править вики-текст]

Определение скейлинг-функции[править | править вики-текст]

Пусть  \varphi(t) представляет собой функцию из в  L_2 , такую что множество ее трансляций

\{ {\varphi}_{0, \;k}(t)\bigr|\varphi_{0, \;k}(t)=\varphi(t-k) \}, ( k \in \Zeta  — параметр масштабирующий частоту вейвлета)

образует ортогональный базис в  L_2(R) .

Введем  {\varphi}_{j, \;k}(t) согласно:


 {\varphi}_{j, \;k}(t)=2^{j/2}\varphi(2^jt-k)  j, k\in \Zeta.

Пусть \{ {\varphi}_{0, \;k}(t)\}  — ортонормированный базис пространства V_0. Тогда для любой функции f(t)\in\mbox{V}_\mathrm{0}:

 f(t)=\sum_k C_k \varphi(t-k).

Далее, пусть \{ {\varphi}_{j, \;k}(t)\}  — ортонормированный базис пространства V_j , j\in\Zeta. Тогда мы получаем последовательность пространств  \{V_j\bigr|j\in \Zeta \}, таких что

 V_j\subset V_{j+1} .

Определение. Пусть  {\varphi}_{0, \;k}(t)  — ортонормированный базис в  L_2 , тогда разложение функции  f(t)\in L_2 по базисам пространств  \{V_j\bigr|j\in \Zeta \} называется многомасштабным анализом в  L_2 .

Определение. Если  \{V_j\bigr|j\in \Zeta \} является последовательностью пространств многомасштабного анализа в  L_2 , функция  \varphi(t) порождает многомасштабный анализ и называется скейлингом.

Определение материнской вейвлет-функции[править | править вики-текст]

Пусть последовательность пространств  \{V_j\bigr|j\in \Zeta \} является последовательностью пространств многомасштабного анализа в  L_2 . Определим пространство  W_j как дополнение пространства  V_j до пространства  V_{j+1}, то есть  W_j=V_{j+1}\backslash V_j . Тогда

 V_j=V_0\oplus\bigoplus_{k=0}^{j}W_k ,

или же:

 {L}_{2}=V_0\oplus\bigoplus_{j=0}^{\infty}W_j .     (1)

Построим материнскую вейвлет-функцию  \psi(t) \in {L}_{2} ортогональную скейлинг-функции  \varphi(t) . В результате получим набор функций  \{{\psi}_{j, \;k}(t)\bigr|j,k \in \Zeta \}  — базис в пространстве  W_j .

Вейвлет-разложение[править | править вики-текст]

Таким образом, согласно (1) и определению функций  {\psi}_{j, \;k}(t) и  {\varphi}_{j, \;k}(t)) как базисов в соответствующих пространствах, получаем, что любая функция  f(t)\in L_2 может быть разложена в сходящийся в  L_2 ряд:

 f(t)=\sum_k {\alpha}_k{\varphi}_{0,\;k}(t)+\sum_j\sum_k {\beta}_{j,\;k}{\psi}_{k,\;j}(t),

при этом коэффициенты ряда вычисляются следующим образом:

 {\alpha}_k=\int f(t){\varphi}_{0,\;k}^{\ast}(t)dt,

 {\beta}_{j,\;k}=\int f(t){\psi}_{j,\;k}^{\ast}(t)dt.

Коэффициенты  {\alpha}_{k} дают информацию об общей форме исследуемой функции, тогда как коэффициенты  {\beta}_{j,\;k} содержат информацию о деталях общей формы.

Уровень разложения задается числом пространств  W_j используемых для анализа.

Функция  m_0(\omega) [править | править вики-текст]

Утверждение. Пространства  V_j являются вложенными  V_j\subset V_{j+1}  ,  j\in \Zeta при условии, что существует  2\pi  — периодическая функция  m_0(w)\in L_2(0,2\pi) такая, что

 \hat{\varphi}(\omega)=m_0\left(\frac{\omega}{2}\right) \hat{\varphi}\left(\frac{\omega}{2}\right),  (2)

где \hat{\varphi}(\omega)Фурье-образ функции \varphi(t) (доказательство см. 2).

Лемма 0.Система функций \{{\varphi}_{0,\;k}\bigr|k\in\Zeta \} является ортонормированной в  L_2 тогда и только тогда, когда

 \sum_k \bigr|\hat{\varphi}(\omega+2\pi k){\bigr|}^{2}=1 . (3)


Лемма 1. Положим, что \{{\varphi}_{0,\;k}\bigr|k\in\Zeta \}представляет собой ортонормированный базис в  L_2 . Тогда для любой  2\pi -периодической функции, удовлетворяющей условию (2), имеет место равенство:

 \bigr| {m}_{0}(\omega) {\bigr|}^2 +\bigr| {m}_{0}(\omega+\pi){\bigr|}^2=1 . (4)


Лемма 2.В том случае, если \varphi(t) представляет собой скейлинг-функцию, образующую совместно со своими трансляциями и дилатациями пространства многомасштабного анализа, тогда как  m_0(\omega)  —  2\pi -периодическую функцию из  L_2(0,2\pi) , удовлетворяющую условию (2), обратное преобразование Фурье образа

 \hat{\psi}(\omega)=m_{1}\left(\frac{\omega}{2}\right) \hat{\varphi}\left(\frac{\omega}{2}\right),  (5)

где

 m_1(\omega)=m_{0}^{*}(\omega+\pi)\exp(-jw)   — вейвлет-функция. (6)


Таким образом, скейлинг-функция \varphi(t) и материнская вейвлет-функция \psi(t) определяются  2\pi -периодической функцией  m_0(w)\in L_2(0,2\pi) согласно (2), (5), обладающей определенными свойствами (3), (4), (5) + должно выполняться условие

 m_0(0)=0 .

Вейвлеты Р. Койфмана — койфлеты[править | править вики-текст]

Вейвлеты Добеши и койфлеты индуцируются общей  2\pi -периодической функцией  m_0(w)\in L_2(0,2\pi) , но для койфлетов к ней добавляется набор условий, определяющих равенство нулю моментов соответствующей скейлинг-функции, что весьма полезно в задачах аппроксимации.

Теорема. В том случае, если функция принадлежит пространству Соболева и при этом ядро аппроксимации удовлетворят некоторому условию моментов (равенство нулю), тогда аппроксимация данной функции обладает наперед заданной точностью. Обратно: для аппроксимации, обладающей известной сходимостью, ядро аппроксимации удовлетворяет некоторому условию моментов.

Для построения вейвлетов Добеши и койфлетов рассмотрим функцию  m_0(\omega) :


 m_0(\omega)=\left(\frac{1+\exp(-j\omega)}{2} \right)^NL(\omega),

где  L(\omega) — тригонометрический полином. Для построения койфлетов потребуем выполнение следующих условий:

  1.  \int \varphi(t){t}^{l}dt=0, l=1,..,N-1;
  2.  \int \varphi(t)tdt=1;
  3.  \int \psi(t){t}^{l}dt=0, l=0,..,N-1.

Или в частотной области:

  1.  \hat{\varphi}^{(l)}(0)=0, l=1,..,N-1;
  2.  \hat{\varphi}(0)=1;
  3.  \hat{\psi}^{(l)}(0)=0, l=0,..,N-1.


Условие  \hat{\varphi}^{(l)}(0)=0 подразумевает {m}^{(l)}(0)=0, l=1,..,N-1;.

Если существует некоторое число  N=2K, K \in \Nu , тогда, согласно работе [2]рассматриваемая функция  m_0(\omega) для койфлетов может быть представлена в виде:

 m_0(\omega)=\left(\frac{1+\exp(-j\omega)}{2} \right)^{2K}{P}_1{}(\omega),

где

 {P}_{1}(\omega)=\sum_{k=0}^{K-1}\left[\left(\begin{array}{c}\frac{k}{K-1+k} \end{array}\right) \left(\sin(\frac{\omega}{2})\right)^{2k}+\left(\sin(\frac{\omega}{2})\right)^{2K}F(\omega)\right], (7)

 F(\omega) — тригонометрический полином, выбираемый так, чтобы выполнялось условие:

 \bigr| {m}_{0}(\omega) {\bigr|}^2 +\bigr| {m}_{0}(\omega+\pi){\bigr|}^2=1 .


Определение. Вейвлет-функции, полученные с использованием полинома  m_0(\omega) в виде (7), называются койфлетами уровня  N=2K .

Преимущества и пременение койфлетов[править | править вики-текст]

  • Вейвлет-функции с компактными носителями, например, такие как вейвлеты Добеши и койфлеты, наиболее качественно выделяют локальные особенности сигналов.
  • Койфлеты более симметричны чем, например, вейвлеты Добеши, что дает лучшую аппроксимацию при изучении симметричных сигналов.
  • Наличие у койфлетов нулевых моментов скейлинг-функции приводит к лучшей сжимаемости.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Хардле В., Крекьячаряна Ж. , Пикара Д. и Цыбакова А. Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения. // — http://www.quantlet.de/scripts/wav/html .
  • Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. // «Компьютерра». — 2001. — № 39.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Дремин И. М., Иванов О. В., Нечитайло В. А. Вейвлеты и их использование. // УФН. — т. 171. — № 5. — С.465-501.
  2. Daubechies, I. (1992). Ten Lectures on Wavelets, SIAM, Philadelphia.