Вейвлет Хаара

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Вейвлет Хаара

Вейвлет Хаа́ра — один из первых и наиболее простых вейвлетов. Он был предложен венгерским математиком Альфредом Хааром в 1909 году. Вейвлеты Хаара ортогональны, обладают компактным носителем, хорошо локализованы в пространстве, но не являются гладкими. Впоследствии Ингрид Добеши стала развивать теорию ортогональных вейвлетов и предложила использовать функции, вычисляемые итерационным путем, названные вейвлетами Добеши.

Построение вейвлета Хаара[править | править вики-текст]

Родительская (материнская) вейвлет-функция  \psi(x) с нулевым значением интеграла \int_{-\infty}^{\infty}\psi(x)dx = 0, определяющая детали сигнала, задается следующим образом:

\psi(x)= \begin{cases}
        1,  &  0 \le x < 1/2 \\       
        -1, &  1/2 \le x <1 \\
        0,  &  x \notin [0,1)
\end{cases}

Масштабирующая функция  \phi(x) с единичным значением интеграла \int_{-\infty}^{\infty}\phi(x)dx = 1, определяющая грубое приближение (аппроксимацию) сигнала, постоянна: \phi(x)= \begin{cases}
        1,  &  0 \le x < 1 \\       
        0,  &  x \notin [0,1)
\end{cases}

Преобразование Хаара[править | править вики-текст]

Преобразование Хаара используется для сжатия входных сигналов, компрессии изображений, в основном цветных и черно-белых с плавными переходами. Идеален для картинок типа рентгеновских снимков. Данный вид архивации известен довольно давно и напрямую исходит из идеи использования когерентности областей. Степень сжатия задается и варьируется в пределах 5-100. При попытке задать больший коэффициент на резких границах, особенно проходящих по диагонали, проявляется «лестничный эффект» — ступеньки разной яркости размером в несколько пикселов.

Преобразование Хаара для одномерного сигнала[править | править вики-текст]

Пусть имеется одномерный дискретный входной сигнал S. Каждой паре соседних элементов ставятся в соответствие два числа: a_i=\frac{S_{2i}+S_{2i+1}}{2} и b_i=\frac{S_{2i}-S_{2i+1}}{2}. Повторяя данную операцию для каждого элемента исходного сигнала, на выходе получают два сигнала, один из которых является огрубленной версией входного сигнала — a_i, а второй содержит детализирующую информацию, необходимую для восстановления исходного сигнала. Аналогично, преобразование Хаара может быть применено к полученному сигналу a_i и тд.

Пример[править | править вики-текст]

Пусть входящий сигнал представляется в виде строки из 8 значений яркости пикселов (S): (220, 211, 212, 218, 217, 214, 210, 202). После применения преобразования Хаара получаются следующие две последовательности a_1 и b_1: (215.5, 215, 215.5, 206) и (4.5, −3, 1.5, 4). Стоит заметить, что значения b_1 достаточно близки к 0. Повторяя операцию, применительно к последовательности a_1, получаем: (215.25, 210.75) (0.25, 4.75).

На примере преобразования Хаара хорошо видна структура дискретного вейвлет-преобразования сигнала. На каждом шаге преобразования сигнал распадается на две составляющие: приближение с более низким разрешением (аппроксимацию) и детализирующую информацию.

Преобразование Хаара для двумерного сигнала[править | править вики-текст]

Двумерное преобразование Хаара — это ни что иное, как композиция одномерных преобразований Хаара. Пусть двумерный входной сигнал представляется матрицей S. После применения одномерного преобразования Хаара к каждой строке матрицы S получаются две новые матрицы, строки которых содержат аппроксимированную и детализирующую часть строк исходной матрицы. Аналогично к каждому столбцу полученных матриц применяют одномерное преобразование Хаара и на выходе получают четыре матрицы, одна из которых является аппроксимирующей составляющей исходного сигнала, а три оставшиеся содержат детализирующую информацию — вертикальную, горизонтальную и диагональную.

См. также[править | править вики-текст]