Векторная решётка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ве́кторная решётка (K-линеал, пространство Риса, в ранних русскоязычных источниках — также линейная структура) — вещественное или комплексное векторное пространство, наделённое структурой алгебраической решётки. Впервые рассмотрена Рисом в 1928 году, с использованием конструкций на её основе получены важные результаты в функциональном анализе.

Векторную решётку можно определить аксиоматически на векторном пространстве X с произвольным выделенным подклассом элементов X_+ \subset X, называемых положительными элементами (0 \notin X_+), посредством введения отношения частичного порядка следующим образом: x > y \Leftrightarrow x-y \in X_+ (в этом случае x \in X_+ \Rightarrow x > 0), если при этом выполнены следующие условия:

  • если x>0, то x \neq 0,
  • если x>0 и y>0, то x+y>0
  • для любых двух элементов x, y \in X существует их супремум x \vee y,
  • если x>0 и для элемента числового поля \lambda выполнено \lambda > 0, то \lambda x > 0[1].

Всякая векторная решётка дистрибутивна[2].

Важное свойство в векторных решётках — представимость любого элемента x \in X в виде разности двух положительных элементов x = x_+ - x_-, где x_+ = x \vee 0 называется положительной частью элемента x, а x_- = (-x) \vee 0 — его отрицательной частью. В этих терминах вводится также понятие модуля элемента следующим образом: |x| = x_+ + x_-, причём всегда выполнено x \leqslant x_+ \leqslant |x|. Для ограниченности множества U \in X в векторной решётке необходима и достаточна ограниченность множества модулей его элементов U^* = \{|x|, \, x\in U \}[3].

Особый интерес в функциональном анализе представляют векторные решётки с дополнительной пространственной структурой, такие как банаховы решётки[4].

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]