Векторное расслоение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Векторным расслоением называется определённая геометрическая конструкция, соответствующая семейству векторных пространств, параметризованных другим пространством X (например, X может быть топологическим пространством, многообразием или алгебраической структурой): каждой точке x пространства X сопоставляется векторное пространство V_x так, что их объединение образует пространство такого же типа, как и X (топологическое пространство, многообразие или алгебраическую структуру и т. п.), называемое пространством векторного расслоения над X.

Векторное расслоение является особым типом локально тривиальных расслоений, которые в свою очередь являются особым типом расслоений.

Обычно рассматривают векторные пространства над вещественными или комплексными числами. В таком случае векторные расслоения называются соответственно вещественными или комплексными. Комплексные векторные расслоения можно рассматривать как вещественные с дополнительно введённой структурой.

Примеры[править | править вики-текст]

Касательные расслоения в общем случае не тривиальны.

Определения[править | править вики-текст]

Векторное расслоение — это локально тривиальное расслоение, у которого слой V является векторным пространством, со структурной группой обратимых линейных преобразований V.

Связанные определения[править | править вики-текст]

Подрасслоением U векторного расслоения V на топологическом пространстве X называется такая совокупность линейных подпространств U_x\subset V_x, x\in X, которая сама имеет структуру векторного расслоения.

Морфизмы[править | править вики-текст]

Морфизм из векторного расслоения \pi_1\colon E_1 \to X_1 в векторное расслоение \pi_2\colon E_2 \to X_2 задается парой непрерывных отображений f\colon E_1 \to E_2 и g\colon X_1 \to X_2, таких что

BundleMorphism-01.png

Заметим, что g определяется f (так как \pi_1 — сюрьекция), в таком случае говорят, что f покрывает g.

Класс всех векторных расслоений вместе с морфизмами расслоений образует категорию. Ограничиваясь векторными расслоениями, являющимися гладкими многообразиями, и гладкими морфизмами расслоений, мы получим категорию гладких векторных расслоений. Морфизмы векторных расслоений — частный случай отображения расслоений между локально тривиальными расслоениями, их часто называют гомоморфизмом (векторных) расслоений.

Гомоморфизм расслоений из E_1 в E_2, вместе с обратным гомоморфизмом, называется изоморфизмом (векторных) расслоений. В таком случае расслоения E_1 и E_2 называют изоморфными. Изоморфизм векторного расслоения (ранга k) E над X на тривиальное расслоение (ранга k над X) называется тривиализацией E, при этом E называют тривиальным (или тривиализуемым). Из определения векторного расслоения видно, что любое векторное расслоение локально тривиально.

Операции над расслоениями[править | править вики-текст]

Большинство операций над векторными пространствами могут быть продолжены на векторные расслоения, выполняясь поточечно.

Например, если E — векторное расслоение на X, то существует расслоение E^* на X, называемое сопряжённым расслоением, слой которого в точке x\in X — это сопряженное векторное пространство (E_x)^*. Формально E^* можно определить как множество пар (x,\varphi), где x\in X и \varphi \in E_x^*. Сопряженное расслоение локально тривиально.

Существует много функториальных операций, выполняемых над парами векторных пространств (над одним полем). Они напрямую продолжаются на пары векторных расслоений E, F на X (над заданным полем). Вот несколько примеров.

  • Сумма Уитни, или расслоение прямой суммы E и F — это векторное расслоение E\oplus F на X, слой которого в точке x является прямой суммой  E_x\oplus F_x векторных пространств E_x и F_x.
  • Расслоение тензорного произведения  E\otimes F определяется аналогично, используя поточечные тензорные произведения векторных пространств.
  • Расслоение гомоморфизмов (hom-bundle) \operatorname{Hom}\,(E,F) — это векторное расслоение, слой которого в точке x — пространство линейных отображений из E_x в F_x (часто обозначаемое \operatorname{Hom}\,(E_x,F_x) или L(E_x,F_x)). Это расслоение полезно, потому что существует биекция между гомоморфизмами векторных расслоений из E в F на X и частями \operatorname{Hom}\,(E,F) на X.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Мищенко А.С. Векторные расслоения и их применения. — М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1984. — 208 с.
  • Jurgen Jost. Riemannian Geometry and Geometric Analysis — (2002) Springer-Verlag, Berlinб ISBN 3-540-42627-2 — See section 1.5.
  • Ralph Abraham, Jerrold E. Marsden. Foundations of Mechanics, — (1978) Benjamin-Cummings, Londonб ISBN 0-8053-0102-X — See section 1.5.