Векторный потенциал электромагнитного поля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 Просмотр этого шаблона  Классическая электродинамика
VFPt Solenoid correct2.svg
Электричество · Магнетизм
См. также: Портал:Физика

Ве́кторный потенциа́л электромагни́тного по́ля (вектор-потенциал, магнитный потенциал) — в электродинамике, векторный потенциал, ротор которого равен магнитной индукции:

 \mathbf B = \operatorname{rot} \mathbf A = \nabla \times \mathbf A.

Вектор-потенциал является пространственной компонентой 4-вектора электромагнитного потенциала.

Уравнения Максвелла[править | править исходный текст]

Одним из способов записи уравнений Максвелла является формулировка в терминах векторного и скалярного потенциалов.

При этом уравнение \operatorname{div} \mathbf B = 0 удовлетворяется автоматически.

Подстановка выражения для \mathbf A в

\operatorname{rot}\mathbf E = - \frac{\partial \mathbf B}{\partial t}

приводит к уравнению

\operatorname{rot} \left( \mathbf E + \frac{\partial \mathbf A}{\partial t} \right) = 0,

согласно которому, так же как и в электростатике вводится скалярный потенциал. Однако теперь в \mathbf E вносят вклад и скалярный и векторный потенциал:

\mathbf E = - \operatorname{grad}\; \varphi - \frac{\partial \mathbf A}{\partial t}

Из уравнения \operatorname{rot} \mathbf H = \mathbf j + \frac{\partial \mathbf D}{\partial t} следует

\operatorname{rot}\; \operatorname{rot} \mathbf A = \mu_0 \mathbf j + \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \left(-\operatorname{grad}\;\varphi - \frac{\partial \mathbf A}{\partial t} \right)

Используя равенство \operatorname{rot}\; \operatorname{rot} \mathbf A = \operatorname{grad}\;\operatorname{div}\mathbf A - \nabla^2\mathbf A, уравнения для векторного и скалярного потенциалов можно записать в виде

\Delta \mathbf A - \operatorname{grad} \left(\operatorname{div}\mathbf A + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \varphi}{\partial t} \right) - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} = -\mu_0 \mathbf j
\Delta \varphi + \frac{\partial}{\partial t} \operatorname{div} \mathbf A = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}

Вектор-потенциал и магнитный поток[править | править исходный текст]

В соответствии с теоремой Стокса, магнитный поток \Phi через контур L легко выразить через циркуляцию векторного потенциала \mathbf{A} по этому контуру:

\Phi = \oint\limits_L \mathbf{A} \cdot \mathbf{dl}

Калибровка векторного потенциала[править | править исходный текст]

Легко убедиться, что преобразования

\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} + \nabla \psi
\varphi \rightarrow \varphi - \frac{\partial\psi}{\partial t}

где ~\psi — произвольная функция координат и времени, не изменяют уравнений Максвелла (калибровочная инвариантность, по теореме Нётер ей соответствует закон сохранения электрического заряда). Для удобства решения этих уравнений накладывают дополнительное искусственное условие, называемое калибровкой потенциала. При решении различного класса задач удобнее бывает та или иная калибровка. Широкое распространение получили две — калибровка Кулона и калибровка Лоренца.

Калибровка Кулона[править | править исходный текст]

Калибровкой Кулона называют выражение:

\operatorname{div}\mathbf A = 0.

Эта калибровка удобна для рассмотрения магнитостатических задач (с постоянными во времени токами).


Калибровка Лоренца[править | править исходный текст]

Калибровкой Лоренца называют условие равенства нулю 4-дивергенции потенциала (в СИ):

\nabla_{\mu} A_{\mu} = \operatorname{div}\mathbf A+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \varphi}{\partial t} = 0.

В этом случае уравнения переписываются в виде даламбертианов:

\square \mathbf A \equiv \Delta \mathbf A - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = -\mu_0 \mathbf j
\square \varphi \equiv \Delta \varphi - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2} = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}

Уравнения, записанные в таком виде, удобнее использовать для решения нестационарных задач.

Физический смысл векторного потенциала[править | править исходный текст]

Обычно считается, что векторный потенциал — величина, не имеющая непосредственного физического смысла, вводимая лишь для удобства выкладок. Однако удалось поставить эксперименты, показавшие, что векторный потенциал доступен непосредственному измерению. Подобно тому, как электростатический потенциал связан с понятием энергии, векторный потенциал обнаруживает тесную связь с понятием импульса.

Смещение квантовомеханической фазы[править | править исходный текст]

Влияние магнитного поля на движение квантовой частицы приводит к смещению фазы[1][2]:

\Delta \varphi_H = \frac{e}{\hbar c}\int_{S}^{} (\mathbf{A},\;d\mathbf{l}),

где eзаряд электрона, c скорость света в вакууме, \hbarприведенная постоянная Планка, \mathbf{A} — векторный потенциал магнитного поля и d\mathbf{l} — элемент траектории движения частицы.

При этом смещение фазы возникает и тогда, когда частица проходит по областям, в которых \mathbf B = 0, не равен нулю только \mathbf A. Например, это происходит при наблюдении эффекта Ааронова — Бома[3].

Обобщённый импульс[править | править исходный текст]

При движении частицы в электромагнитном поле полный импульс \mathbf{P} равен не просто \mathbf{p} = \frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}, а \mathbf{p} + q\mathbf{A}. Следовательно, при движении частицы в чисто магнитном поле сохраняется именно эта величина. Налицо аналогия с полной энергией частицы E = T + U = \frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} + q\varphi, которую можно считать суммой кинетической и потенциальной энергии.

Импульс частицы при быстром отключении магнитного поля[править | править исходный текст]

Если заряженная частица находится вблизи источника магнитного поля, которое в определённый момент времени быстро отключают, то она приобретает дополнительный импульс \Delta \mathbf{p} = q\mathbf{A} даже в том случае, если \mathbf{B} в точке нахождения частицы было равно нулю (например, с внешней стороны соленоида). В частности, если частица до отключения поля покоилась, то она начинает движение с импульсом, равным q\mathbf{A}. Таким образом мы получаем возможность непосредственно измерить векторный потенциал в макроскопической системе.

Единицы измерения[править | править исходный текст]

В системе СИ единицей векторного потенциала является вебер на метр (Вб/м, размерностьВ·с/м = кг·м·с−2·А−1).

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. — М.: Мир, 1966. — Т. 6. — 344 с.
  2. Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. — М.: Мир, 1968. — 382 с.
  3. Aharonov, Y. and D. Bohm Significance of electromagnetic potentials in quantum theory // Phys. Rev.. — 1959. — Т. 115.

Литература[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]