Вектор-функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Вектор-функция — функция, значениями которой являются векторы в векторном пространстве \mathbb V двух, трёх или более измерений. Аргументами функции могут быть:

  • одна скалярная переменная — тогда значения вектор-функции определяют в \mathbb V некоторую кривую;
  • m скалярных переменных — тогда значения вектор-функции образуют в \mathbb V, вообще говоря, m-мерную поверхность;
  • векторная переменная — в этом случае вектор-функцию обычно рассматривают как векторное поле на \mathbb V.

Вектор-функция одной скалярной переменной[править | править вики-текст]

Для наглядности далее ограничимся случаем трёхмерного пространства, хотя распространение на общий случай не составляет труда. Вектор-функция одной скалярной переменной \mathbf{r}(t) отображает некоторый интервал вещественных чисел t_1 \leqslant t \leqslant t_2 в множество пространственных векторов (интервал может также быть бесконечным).

Выбрав координатные орты \mathbf{{\hat{i}}}, \mathbf{{\hat{j}}}, \mathbf{{\hat{k}}}, мы можем разложить вектор-функцию на три координатные функции x(t), y(t), z(t):

\mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf{{\hat{i}}}+y(t)\mathbf{{\hat{j}}}+z(t)\mathbf{{\hat{k}}}

Рассматриваемые как радиус-векторы, значения вектор-функции образуют в пространстве некоторую кривую, для которой t является параметром.

Говорят, что вектор-функция \mathbf{r}(t) имеет предел \mathbf{r_0} в точке t=t_0, если \lim_{t\to t_0}|\mathbf{r}(t) - \mathbf{r_0}|= 0 (здесь и далее |\mathbf{v}| обозначают модуль вектора \mathbf{v}). Предел вектор-функции имеет обычные свойства:

  • Предел суммы вектор-функций равен сумме пределов слагаемых (в предположении, что они существуют).
  • Предел скалярного произведения вектор-функций равен скалярному произведению пределов сомножителей.
  • Предел векторного произведения вектор-функций равен векторному произведению пределов сомножителей.

Непрерывность вектор-функции определяется традиционно.

Производная вектор-функции по параметру[править | править вики-текст]

Определим производную вектор-функции \mathbf{r}(t) по параметру:

\frac{d}{dt}\mathbf{r}(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{r}(t+h) - \mathbf{r}(t)}{h}.

Если производная в точке t существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут x'(t),\ y'(t),\ z'(t).

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):

О применении вектор-функций одной скалярной переменной в геометрии см.: дифференциальная геометрия кривых.

Вектор-функция нескольких скалярных переменных[править | править вики-текст]

Для наглядности ограничимся случаем двух переменных в трёхмерном пространстве. Значения вектор-функции \mathbf{r}(u, v) (их годограф) образуют, вообще говоря, двумерную поверхность, на которой аргументы u, v можно рассматривать как внутренние координаты точек поверхности.

В координатах уравнение \mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\ v) имеет вид:

x = x(u,\ v);\ y = y(u,\ v);\ z = z(u,\ v)

Аналогично случаю одной переменной, мы можем определить производные вектор-функции, которых теперь будет две: \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial v}. Участок поверхности будет невырожденным (то есть в нашем случае — двумерным), если на нём \left[\frac{\partial\mathbf{r}} {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial v}\right] не обращается тождественно в ноль.

Координатная сетка на сфере

Кривые на этой поверхности удобно задавать в виде:

u = u(t);\ v = v(t),

где t — параметр кривой. Зависимости u(t),\ v(t) предполагаются дифференцируемыми, причём в рассматриваемой области их производные не должны одновременно обращаться в нуль. Особую роль играют координатные линии, образующие сетку координат на поверхности:

u = t;\ v = const — первая координатная линия.
u = const;\ v = t — вторая координатная линия.

Если на поверхности нет особых точек (\left[\frac{\partial\mathbf{r}} {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial v}\right] нигде не обращается в ноль), то через каждую точку поверхности проходят точно две координатные линии.

Подробнее о геометрических приложениях вектор-функций нескольких скалярных переменных см.: Теория поверхностей.

Литература[править | править вики-текст]