Вектор Шепли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Вектор Шепли — принцип оптимальности распределения выигрыша между игроками в задачах теории кооперативных игр. Представляет собой распределение, в котором выигрыш каждого игрока равен его среднему вкладу в благосостояние тотальной коалиции при определенном механизме ее формирования.

Формальное определение[править | править вики-текст]

Для кооперативной игры рассмотрим некоторое упорядочение множества игроков N. Обозначим через K_i подмножество, содержащее i первых игроков в данном упорядочении. Вкладом i-го по счету игрока назовем величину v(K_i)-v(K_{i-1}), где v — характеристическая функция кооперативной игры.

Вектором Шепли кооперативной игры называется такое распределение выигрыша, в котором каждый игрок получает математическое ожидание своего вклада в соответствующие коалиции K_i, при равновероятном возникновении упорядочений:

\Phi(v) = \frac{1}{n!}\sum_{\tau \in T}x_{\tau},

где n — количество игроков, T — множество упорядочений множества игроков N, x_{\tau} — распределение выигрыша, в котором игрок, стоящий на месте i в упорядочении \tau, получает свой вклад в коалицию K_i (точка Вебера).

Более распространенная формула для вычисления вектора Шепли, не требующая нахождения n! точек Вебера, имеет вид:

\Phi(v)_{i} = \sum_{K \ni i}\frac{(k-1)!(n-k)!}{n!}(v(K)-v(K \setminus i)),

где n — количество игроков, k — количество участников коалиции K.

Аксиоматика вектора Шепли[править | править вики-текст]

Вектор Шепли удовлетворяет следующим свойствам:

1. Линейность. Отображение \Phi(v) представляет собой линейный оператор, то есть для любых двух игр с характеристическими функциями v и w

\Phi(v+w) = \Phi(v) + \Phi(w);

и для любой игры с характеристической функцией v и для любого \alpha

\Phi(\alpha v) = \alpha \Phi(v).

2. Симметричность. Получаемый игроком выигрыш не зависит от его номера. Это означает, что если игра w получена из игры v перестановкой игроков, то ее вектор Шепли \Phi(w) есть вектор \Phi(v) с соответствующим образом переставленными элементами.

3. Аксиома болвана. Болваном в теории кооперативных игр называется бесполезный игрок, не вносящий вклада ни в какую коалицию, то есть игрок i, такой что для любой коалиции K, содержащей i, выполнено: v(K)-v(K \setminus i)=0.

Аксиома болвана состоит в том, что если игрок i — болван, то \Phi(v)_i = 0.

4. Эффективность. Вектор Шепли позволяет полностью распределить имеющееся в распоряжении тотальной коалиции благосостояние, то есть сумма компонент вектора \Phi(v) равна v(N).

Теорема Шепли. Для любой кооперативной игры v существует единственное распределение выигрыша, удовлетворяющее аксиомам 1 — 4, задаваемое приведенной выше формулой.

Литература[править | править вики-текст]

  1. Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики - М.: МГУ, 2005, 272 с.
  2. Воробьев Н. Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков — М.: Наука, 1985
  3. Мазалов В. В. Математическая теория игр и приложения — Изд-во Лань, 2010, 446 с.
  4. Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Шевкопляс Е. В. Теория игр — СПб: БХВ-Петербург, 2012, 432 с.
  5. Печерский С. Л., Яновская Е. Б. Кооперативные игры: решения и аксиомы — Изд-во Европейского ун-та в С.-Петербурге, 2004, 459 с.

См. также[править | править вики-текст]