Эта статья входит в число избранных

Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Вектор эксцентриситета»)
Перейти к: навигация, поиск
В этой статье векторы выделены жирным шрифтом, а их абсолютные величины — курсивом, например, |\mathbf{A}|=A.

В классической механике ве́ктором Лапла́са — Ру́нге — Ле́нца называется вектор, в основном используемый для описания формы и ориентации орбиты, по которой одно небесное тело обращается вокруг другого (например, орбиты, по которой планета вращается вокруг звезды). В случае с двумя телами, взаимодействие которых описывается законом всемирного тяготения Ньютона, вектор Лапласа — Рунге — Ленца представляет собой интеграл движения, то есть его направление и величина являются постоянными независимо от того, в какой точке орбиты они вычисляются[1]; говорят, что вектор Лапласа — Рунге — Ленца сохраняется при гравитационном взаимодействии двух тел. Это утверждение можно обобщить для любой задачи с двумя телами, взаимодействующими посредством центральной силы, которая изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Такая задача называется Кеплеровой задачей[2].

Например, такой потенциал возникает при рассмотрении классических орбит (без учёта квантования) в задаче о движении отрицательно заряженного электрона, движущегося в электрическом поле положительно заряженного ядра. Если вектор Лапласа — Рунге — Ленца задан, то форма их относительного движения может быть получена из простых геометрических соображений, с использованием законов сохранения этого вектора и энергии.

Согласно принципу соответствия у вектора Лапласа — Рунге — Ленца имеется квантовый аналог, который был использован в первом выводе спектра атома водорода[3], ещё перед открытием уравнения Шрёдингера.

В задаче Кеплера имеется необычная особенность: конец вектора импульса \mathbf{p} всегда движется по кругу[4][5][6]. Из-за расположения этих кругов для заданной полной энергии E проблема Кеплера математически эквивалентна частице, свободно перемещающейся в четырёхмерной сфере S_{3} [7]. По этой математической аналогии, сохраняющийся вектор Лапласа — Рунге — Ленца эквивалентен дополнительным компонентам углового момента в четырёхмерном пространстве[8].

Вектор Лапласа — Рунге — Ленца также известен как вектор Лапласа, вектор Рунге — Ленца и вектор Ленца, хотя ни один из этих учёных не вывел его впервые. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца открывался вновь несколько раз[9]. Он также эквивалентен безразмерному вектору эксцентриситета в небесной механике[10]. Точно так же для него нет никакого общепринятого обозначения, хотя обычно используется \mathbf{A}. Для различных обобщений вектора Лапласа — Рунге — Ленца, которые определены ниже, используется символ \mathcal{A}.

Контекст[править | править вики-текст]

Одиночная частица, движущаяся под воздействием любой консервативной центральной силы, имеет, по крайней мере, четыре интеграла движения (сохраняющиеся при движении величины): полная энергия E и три компоненты углового момента (вектора \mathbf{L}). Орбита частицы лежит в плоскости, которая определяется начальным импульсом частицы, \mathbf{p} (или, что эквивалентно, скоростью \mathbf{v}) и координатами, т. е. радиус-вектором \mathbf{r} между центром силы и частицей (см. рис. 1). Эта плоскость перпендикулярна постоянному вектору \mathbf{L}, что может быть выражено математически с помощью скалярного произведения \mathbf{r}\cdot\mathbf{L}=0.

Как определено ниже, вектор Лапласа — Рунге — Ленца \mathbf{A} всегда находится в плоскости движения — то есть, \mathbf{A}\cdot\mathbf{L}=0 — для любой центральной силы. Также \mathbf{A} является постоянным только для силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния[2]. Если центральная сила приблизительно зависит от обратного квадрата расстояния, вектор \mathbf{A} является приблизительно постоянным по длине, но медленно вращается. Для большинства центральных сил, однако, этот вектор \mathbf{A} не постоянный, а изменяет длину и направление. Обобщённый сохраняющийся вектор Лапласа — Рунге — Ленца \mathcal{A} может быть определён для всех центральных сил, но этот вектор — сложная функция положения и обычно не выражается аналитически в элементарных или специальных функциях[11][12].

История[править | править вики-текст]

Вектор Лапласа — Рунге — Ленца \mathbf{A} является сохраняющейся величиной в задаче Кеплера и полезен при описании астрономических орбит, наподобие движения планеты вокруг Солнца. Однако он никогда не был широко известен среди физиков, возможно, потому что является менее интуитивно понятным вектором, чем импульс и угловой момент. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца независимо открывали несколько раз за прошедшие три столетия[9]. Якоб Герман был первым, кто показал, что \mathbf{A} сохраняется для специального случая центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния[13], и нашёл его связь с эксцентриситетом эллиптической орбиты. Работа Германа была обобщена до её современной формы Иоганном Бернулли в 1710 году[14]. В свою очередь, Пьер-Симон Лаплас в конце XVIII столетия открыл сохранение \mathbf{A} вновь, доказав это аналитически, а не геометрически, как его предшественники[15].

В середине XIX века Уильям Гамильтон получил эквивалент вектора эксцентриситета, определённый ниже[10], использовав его, чтобы показать, что конец вектора импульса \mathbf{p} двигается по кругу под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния (рис. 3)[4]. В начале XX столетия Уиллард Гиббс получил тот же самый вектор с помощью векторного анализа[16]. Вывод Гиббса использовал Карл Рунге в популярном немецком учебнике по векторам в качестве примера[17], на который ссылался Вильгельм Ленц в своей статье о квантовомеханическом (старом) рассмотрении атома водорода [18].

В 1926 году этот вектор использовал Вольфганг Паули, чтобы вывести спектр атома водорода, используя современную матричную квантовую механику, а не уравнение Шрёдингера[3]. После публикации Паули вектор стал, главным образом, известен как вектор Рунге — Ленца.

Математическое определение[править | править вики-текст]

Рис. 1: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца \scriptstyle\mathbf{A} (показанный красным цветом) в четырёх точках (обозначенных 1, 2, 3 и 4) на эллиптической орбите связанной точечной частицы, движущейся под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния. Маленький чёрный круг обозначает центр притяжения. От него начинаются радиус-векторы (выделены чёрным цветом), направленные в точки 1, 2, 3 и 4. Вектор углового момента \scriptstyle\mathbf{L} направлен перпендикулярно орбите. Компланарные векторы \scriptstyle\mathbf{p}\times\mathbf{L}, \scriptstyle(mk/r)\mathbf{r} и \scriptstyle\mathbf{A} изображены синим, зелёным и красным цветами, соответственно; эти переменные определены ниже. Вектор \scriptstyle\mathbf{A} является постоянным по направлению и величине.

Для одиночной частицы, движущейся под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния и описываемой уравнением \mathbf{F}(r)=\frac{-k}{r^2}\mathbf{\hat{r}}, вектор Лапласа — Рунге — Ленца \mathbf{A} определён математически по формуле[2]

\mathbf{A}=\mathbf{p}\times\mathbf{L}-mk\mathbf{\hat{r}},

где

  • m\!\, — масса точечной частицы, движущейся под воздействием центральной силы,
  • \mathbf{p}\!\, — вектор импульса,
  • \mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}\!\, — вектор углового момента,
  • k\!\, — параметр, описывающий величину центральной силы,
  • \mathbf{\hat{r}}\!\, — единичный вектор, то есть \mathbf{\hat{r}}=\frac{\mathbf{r}}{r}, где \mathbf{r}\!\, — радиус-вектор положения частицы, и r — его длина.

Поскольку мы предположили, что сила консервативная, то полная энергия E сохраняется

E=\frac{p^2}{2m}-\frac{k}{r}=\frac{1}{2}mv^2-\frac{k}{r}.

Из центральности силы следует, что вектор углового момента \mathbf{L} также сохраняется и определяет плоскость, в которой частица совершает движение. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца \mathbf{A} перпендикулярен вектору углового момента \mathbf{L} и, таким образом, находится в плоскости орбиты. Уравнение \mathbf{A}\cdot\mathbf{L}=0 верно, потому что вектора \mathbf{p}\times\mathbf{L} и \mathbf{r} перпендикулярны \mathbf{L}.

Это определение вектора Лапласа — Рунге — Ленца \mathbf{A} применимо для единственной точечной частицы с массой m, движущейся в стационарном (не зависящем от времени) потенциале. Кроме того, то же самое определение может быть расширено на проблему с двумя телами, наподобие проблемы Кеплера, если заменить m на приведённую массу этих двух тел и \mathbf{r} на вектор между этими телами.

Круговой годограф импульса[править | править вики-текст]

Рис. 2: Конец вектора импульса \scriptstyle\mathbf{p} (показанный синим цветом) двигается по кругу, когда частица совершает движение по эллипсу. Четыре помеченные точки соответствуют точкам на рис. 1. Центр круга находится на оси \scriptstyle y в точке \scriptstyle A/L (показан пурпурным), с радиусом \scriptstyle mk/L (показан зелёным). Угол \scriptstyle\eta определяет эксцентриситет \scriptstyle e эллиптической орбиты (\scriptstyle\cos\eta=e). Из теоремы о вписанном угле для круга следует, что \scriptstyle \eta является также углом между любой точкой на окружности и двумя точками пересечения окружности с осью \scriptstyle p_x, \scriptstyle p_x=\pm p_0.

Сохранение вектора Лапласа — Рунге — Ленца \mathbf{A} и вектора углового момента \mathbf{L} используется в доказательстве того, что вектор импульса \mathbf{p} движется по кругу под действием центральной силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Вычисляя векторное произведение \mathbf{A} и \mathbf{L}, приходим к уравнению для \mathbf{p}

L^2\mathbf{p}=\mathbf{L}\times\mathbf{A}-mk\hat{\mathbf{r}}\times\mathbf{L}.

Направляя вектор \mathbf{L} вдоль оси z, а главную полуось — по оси x, приходим к уравнению

p_x^2+(p_y-A/L)^2=(mk/L)^2.

Другими словами, вектор импульса \mathbf{p} ограничен окружностью радиуса mk/L, центр которой расположен в точке с координатами (0,\;A/L). Эксцентриситет e соответствует косинусу угла \eta, показанного на рис. 2. Для краткости можно ввести переменную p_0=\sqrt{2m|E|}. Круговой годограф полезен для описания симметрии проблемы Кеплера.

Интегралы движения и суперинтегрируемость[править | править вики-текст]

Семь скалярных величин: энергия E и компоненты векторов Лапласа — Рунге — Ленца \mathbf{A} и момента импульса \mathbf{L} — связаны двумя соотношениями. Для векторов выполняется условие ортогональности \mathbf{A}\cdot\mathbf{L}=0, а энергия входит в выражение для квадрата длины вектора Лапласа — Рунге — Ленца, полученного выше A^2=m^2k^2+2mEL^2. Тогда существует пять независимых сохраняющихся величин, или интегралов движения. Это совместимо с шестью начальными условиями (начальное положение частицы и её скорость являются векторами с тремя компонентами), которые определяют орбиту частицы, так как начальное время не определено интегралами движения. Поскольку величину \mathbf{A} (и эксцентриситет e орбиты) можно определить из полного углового момента L и энергии E, то утверждается, что только направление \mathbf{A} сохраняется независимо. Кроме того, вектор \mathbf{A} должен быть перпендикулярным \mathbf{L} — это приводит к одной дополнительной сохраняющейся величине.

Механическая система с d степенями свободы может обладать максимум 2d-1 интегралами движения, поскольку 2d начальных условия и начальное время не могут быть определены из интегралов движения. Система с более чем d интегралами движения называется суперинтегрируемой, а система с 2d-1 интегралами называется максимально суперинтегрируемой[19]. Поскольку решение уравнения Гамильтона — Якоби в одной системе координат может привести только к d интегралам движения, то переменные должны разделяться для суперинтегрируемых систем в больше чем одной системе координат[20]. Проблема Кеплера — максимально суперинтегрируема, так как она имеет три степени свободы (d=3) и пять независимых интегралов движения; переменные в уравнении Гамильтона — Якоби разделяются в сферических координатах и параболических координатах[21], как описано ниже. Максимально суперинтегрируемые системы могут быть квантованы с использованием только коммутационных соотношений, как показано ниже[22].

Уравнение Гамильтона — Якоби в параболических координатах[править | править вики-текст]

Постоянство вектора Лапласа — Рунге — Ленца можно вывести, используя уравнение Гамильтона — Якоби в параболических координатах (\xi,\;\eta), которые определяются следующим образом

\xi=r+x,
\eta=r-x,

где r — радиус в плоскости орбиты

r=\sqrt{x^2+y^2}.

Обратное преобразование этих координат запишется в виде

x=\frac{1}{2}(\xi-\eta),
y =\sqrt{\xi\eta}.

Разделение переменных в уравнении Гамильтона — Якоби в этих координатах даёт два эквивалентных уравнения[21][23]

2\xi p_\xi^2-mk-mE\xi=-\beta,
2\eta p_\eta^2-mk-mE\eta=\beta,

где \beta — интеграл движения. Посредством вычитания этих уравнений и выражения в терминах декартовых координат импульса p_x и p_y можно показать, что \beta эквивалентен вектору Лапласа — Рунге — Ленца

\beta=p_y(xp_y-yp_x)-mk\frac{x}{r}=A_x.

Этот подход Гамильтона — Якоби может использоваться, чтобы вывести сохраняющийся обобщённый вектор Лапласа — Рунге — Ленца \mathcal{A} в присутствии электрического поля \mathbf{E} [21][24]

\mathcal{A}=\mathbf{A}+\frac{mq}{2}\left[(\mathbf{r}\times\mathbf{E})\times\mathbf{r}\right],

где q — заряд обращающейся частицы.

Альтернативная формулировка[править | править вики-текст]

В отличие от импульса \mathbf{p} и углового момента \mathbf{L}, у вектора Лапласа — Рунге — Ленца нет общепринятого определения. В научной литературе используются несколько различных множителей и символов. Самое общее определение даётся выше, но другое определение возникает после деления на постоянную mk, чтобы получить безразмерный сохраняющийся вектор эксцентриситета

\mathbf{e}=\frac{1}{mk}(\mathbf{p}\times\mathbf{L})-\mathbf{\hat{r}}=\frac{m}{k}(\mathbf{v}\times\mathbf{r}\times\mathbf{v})-\mathbf{\hat{r}},

где \mathbf{v} — вектор скорости. Направление этого масштабированного вектора \mathbf{e} совпадает с направлением \mathbf{A}, и его амплитуда равна эксцентриситету орбиты. Мы получим другие определения, если поделить \mathbf{A} на m,

\mathbf{M}=\mathbf{v}\times\mathbf{L}-k\mathbf{\hat{r}}

или на p_0

\mathbf{D}=\frac{\mathbf{A}}{p_0}=\frac{1}{\sqrt{2m|E|}}\{\mathbf{p}\times\mathbf{L}-mk\mathbf{\hat{r}}\},

который имеет ту же размерность, что и угловой момент (вектор \mathbf{L}). В редких случаях, знак вектора Лапласа — Рунге — Ленца может быть изменён на противоположный. Другие общие символы для вектора Лапласа — Рунге — Ленца включают \mathbf{a}, \mathbf{R}, \mathbf{F}, \mathbf{J} и \mathbf{V}. Однако выбор множителя и символа для вектора Лапласа — Рунге — Ленца, конечно же, не влияет на его сохранение.

Рис. 3: Вектор углового момента \scriptstyle\mathbf{L}, вектор Лапласа — Рунге — Ленца \scriptstyle\mathbf{A} и вектор Гамильтона, бинормаль \scriptstyle\mathbf{B}, являются взаимно перпендикулярными; \scriptstyle\mathbf{A} и \scriptstyle \mathbf{B} указывают на большую и на малую полуоси, соответственно, эллиптической орбиты в задаче Кеплера.

Альтернативный сохраняющийся вектор: бинормаль — вектор \mathbf{B} изучен Уильямом Гамильтоном[10]

\mathbf{B}=\mathbf{p}-\left(\frac{mk}{L^2r}\right)(\mathbf{L}\times\mathbf{r}),

который сохраняется и указывает вдоль малой полуоси эллипса. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца \mathbf{A}=\mathbf{B}\times\mathbf{L} является векторным произведением \mathbf{B} и \mathbf{L} (рис. 3). Вектор \mathbf{B} обозначен как бинормаль, так как он перпендикулярен как \mathbf{A}, так и \mathbf{L}. Подобно вектору Лапласа — Рунге — Ленца, вектор бинормали можно определить с различными множителями.

Два сохраняющиеся вектора, \mathbf{A} и \mathbf{B} можно объединить в сохраняющийся двухэлементный тензор \mathbf{W}

\mathbf{W}=\alpha\mathbf{A}\otimes\mathbf{A}+\beta\mathbf{B}\otimes\mathbf{B},

где \otimes обозначает тензорное произведение, а \alpha и \beta — произвольные множители [11]. Записанное в компонентной записи, это уравнение читается так

W_{ij}=\alpha A_iA_j+\beta B_iB_j.

Векторы \mathbf{A} и \mathbf{B} ортогональны друг другу, и их можно представить как главные оси сохраняющегося тензора \mathbf{W}, т. е. как его собственные вектора. \mathbf{W} перпендикулярен \mathbf{L}

\mathbf{L}\cdot\mathbf{W}=\alpha(\mathbf{L}\cdot\mathbf{A})\mathbf{A}+\beta(\mathbf{L}\cdot\mathbf{B})\mathbf{B}=0,

поскольку \mathbf{A} и \mathbf{B} перпендикулярны, то \mathbf{L}\cdot\mathbf{A}=\mathbf{L}\cdot\mathbf{B}=0.

Вывод орбит Кеплера[править | править вики-текст]

Рис. 4: Упрощенная версия рис. 1. Определяется угол \theta между \scriptstyle \mathbf{A} и \scriptstyle\mathbf{r} в одной точке орбиты.

Форму и ориентацию орбиты в задаче Кеплера, зная вектор Лапласа — Рунге — Ленца \mathbf{A}, можно определить следующим образом. Рассмотрим скалярное произведение векторов \mathbf{A} и \mathbf{r} (положения планеты):

\mathbf{A}\cdot\mathbf{r}=Ar\cos\theta=\mathbf{r}\cdot(\mathbf{p}\times\mathbf{L})-mkr,

где \theta является углом между \mathbf{r} и \mathbf{A} (рис. 4). Поменяем порядок множителей в смешанном произведении \mathbf{r}\cdot(\mathbf{p}\times\mathbf{L})=\mathbf{L}\cdot(\mathbf{r}\times\mathbf{p})=\mathbf{L}\cdot\mathbf{L}=L^2, и при помощи несложных преобразований получим определение для конического сечения:

\frac{1}{r}=\frac{mk}{L^2}\left(1+\frac{A}{mk}\cos\theta\right)

с эксцентриситетом e\!\,, заданным по формуле:

e=\frac{A}{mk}=\frac{|\mathbf{A}|}{mk}.

Приходим к выражению квадрата модуля вектора \mathbf{A} в виде

A^2=m^2k^2+2mEL^2,

которое можно переписать, используя эксцентриситет орбиты

e^2-1=\frac{2L^2}{mk^2}E.

Таким образом, если энергия отрицательна, что соответствует связанным орбитам, эксцентриситет меньше, чем единица, и орбита имеет форму эллипса. Наоборот, если энергия положительна (несвязанные орбиты, также называемые орбитами рассеяния), эксцентриситет больше, чем единица, и орбита — гипербола. Наконец, если энергия точно равна нулю, эксцентриситет — единица, и орбита — парабола. Во всех случаях, вектор \mathbf{A} направлен вдоль оси симметрии конического сечения и указывает на точку самого близкого положения точечной частицы от начала координат (перицентр).

Сохранение под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния[править | править вики-текст]

Сила \mathbf{F}, действующая на частицу, предполагается центральной. Поэтому

\mathbf{F}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}=f(r)\frac{\mathbf{r}}{r}=f(r)\mathbf{\hat{r}}

для некоторой функции f(r) радиуса r. Поскольку угловой момент \mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p} сохраняется под действием центральных сил, то \frac{d}{dt}\mathbf{L}=0 и

\frac{d}{dt}(\mathbf{p}\times\mathbf{L})=\frac{d\mathbf{p}}{dt}\times\mathbf{L}=f(r)\mathbf{\hat{r}}\times\left(\mathbf{r}\times m\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right)=f(r)\frac{m}{r}\left[\mathbf{r}\left(\mathbf{r}\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right)-r^2\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right],

где импульс записан в виде \mathbf{p}=m\frac{d\mathbf{r}}{dt}, и тройное векторное произведение упростилось с помощью формулы Лагранжа

\mathbf{r}\times\left(\mathbf{r}\times\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right)=\mathbf{r}\left(\mathbf{r}\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right)-r^2\frac{d\mathbf{r}}{dt}.

Тождество

\frac{d}{dt}(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r})=2\mathbf{r}\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{d}{dt}(r^2)=2r\frac{dr}{dt}

приводит к уравнению

\frac{d}{dt}(\mathbf{p}\times\mathbf{L})=-mf(r)r^2\left[\frac{1}{r}\frac{d\mathbf{r}}{dt}-\frac{\mathbf{r}}{r^2}\frac{dr}{dt}\right]=
-mf(r)r^2\frac{d}{dt}\left(\frac{\mathbf{r}}{r}\right).

Для специального случая центральной силы, зависящей обратно пропорциональной квадрату расстояния f(r)=\frac{-k}{r^2}, последнее выражение равно

\frac{d}{dt}(\mathbf{p}\times\mathbf{L})=mk\frac{d}{dt}\left(\frac{\mathbf{r}}{r}\right)=\frac{d}{dt}(mk\mathbf{\hat{r}}).

Тогда \mathbf{A} сохраняется в этом случае

\frac{d}{dt}\mathbf{A}=\frac{d}{dt}(\mathbf{p}\times\mathbf{L})-\frac{d}{dt}(mk\mathbf{\hat{r}})=0.

Как показано ниже, вектор Лапласа — Рунге — Ленца \mathbf{A} является частным случаем обобщённого сохраняющегося вектора \mathcal{A}, который может быть определён для любой центральной силы [12][11]. Однако большинство центральных сил не формируют замкнутых орбит (см. теорема Бертрана), аналогичный вектор \mathcal{A} редко имеет простое определение и в общем случае представляет собой многозначную функцию угла \theta между \mathbf{r} и \mathcal{A}.

Изменение под действием возмущающих центральных сил[править | править вики-текст]

Рис. 5: Медленно прецессирующая эллиптическая орбита, с эксцентриситетом \scriptstyle e=0{,}9. Такая прецессия возникает в проблеме Кеплера, если притягивающая центральная сила немного отличается от закона тяготения Ньютона. Скорость прецессии можно вычислить, используя приведённые в параграфе формулы.

Во многих практических проблемах, типа планетарного движения, взаимодействие между двумя телами только приблизительно зависит обратно пропорционально квадрату расстояния. В таких случаях вектор Лапласа — Рунге — Ленца \mathbf{A} не постоянен. Однако, если возмущающий потенциал h(r) зависит только от расстояния, то полная энергия E и вектор углового момента \mathbf{L} сохраняются. Поэтому траектория движения всё ещё находится в перпендикулярной к \mathbf{L} плоскости, и величина A сохраняется, согласно уравнению A^2=m^2k^2+2mEL^2. Следовательно, направление \mathbf{A} медленно вращается по орбите в плоскости. Используя каноническую теорию возмущений и координаты действие-угол, можно прямо показать [2], что \mathbf{A} вращается со скоростью

\frac{\partial}{\partial L}\langle h(r)\rangle=\frac{\partial}{\partial L}\left\{\frac{1}{T}\int\limits_0^T h(r)\,dt\right\}=\frac{\partial}{\partial L}\left\{\frac{m}{L^2}\int\limits_0^{2\pi}r^2h(r)\,d\theta\right\},

где T — период орбитального движения и равенство L\,dt=mr^2\,d\theta использовалось, чтобы преобразовать интеграл по времени в интеграл по углу (рис. 5). Например, принимая во внимание эффекты общей теории относительности, приходим к добавке, которая в отличие от обычной гравитационной силы Ньютона зависит обратно пропорционально кубу расстояния[25]:

h(r)=\frac{kL^2}{m^2c^2}\left(\frac{1}{r^3}\right).

Подставляя эту функцию в интеграл и используя уравнение

\frac{1}{r}=\frac{mk}{L^2}\left(1+\frac{A}{mk}\cos\theta\right),

чтобы выразить r в терминах \theta, скорость прецессии перицентра, вызванная этим возмущением, запишется в виде [25]

\frac{6\pi k^2}{TL^2c^2}.

которая близка по значению к величине прецессии для Меркурия необъяснённой ньютоновской теорией гравитации[26]. Это выражение используется для оценки прецессии, связанной с поправками общей теории относительности для двойных пульсаров[27]. Это согласие с экспериментом является сильным аргументом в пользу общей теории относительности[28].

Теория групп[править | править вики-текст]

Преобразование Ли[править | править вики-текст]

Рис. 6: Преобразование Ли, из которого выводится сохранение вектора Лапласа — Рунге — Ленца \scriptstyle\mathbf{A}. Когда масштабируемый параметр \scriptstyle \lambda изменяется, энергия и угловой момент тоже меняются, но эксцентриситет \scriptstyle e и вектор \scriptstyle\mathbf{A} не изменяются.

Существует другой метод вывода вектора Лапласа — Рунге — Ленца, использующий вариацию координат без привлечения скоростей[29]. Скалирование координат \mathbf{r} и времени t с разной степенью параметра \lambda (рис. 6)

t\to\lambda^3t,\;\mathbf{r}\to\lambda^2\mathbf{r},\;\mathbf{p}\to\frac{1}{\lambda}\mathbf{p}.

Это преобразование изменяет полный угловой момент L и энергию E

L\to\lambda L,\;E\to\frac{1}{\lambda^2}E,

но сохраняет произведение EL^2. Отсюда следует, что эксцентриситет e и величина A сохраняются в уже упомянутом ранее уравнении

A^2=m^2k^2e^2=m^2k^2+2mEL^2.

Направление \mathbf{A} также сохраняется, поскольку полуоси не изменяются при скалировании. Это преобразование оставляет верным третий закон Кеплера, а именно то, что полуось a и период T формируют константу T^2/a^3.

Скобки Пуассона[править | править вики-текст]

Для трёх компонент L_i вектора углового момента \mathbf{L} можно определить скобки Пуассона

[L_i,\;L_j]=\sum_{s=1}^3\varepsilon_{ijs}L_s,

где индекс i пробегает значения 1, 2, 3 и \varepsilon_{ijs} — абсолютно антисимметричный тензор, то есть символ Леви-Чивита (третий индекс суммирования s, чтобы не путать с силовым параметром k, определённым выше). В качестве скобок Пуассона используются квадратные скобки (а не фигурные), как и в литературе и, в том числе, чтобы интерпретировать их как квантовомеханические коммутационные соотношения в следующем разделе.

Как показано выше, изменённый вектор Лапласа — Рунге — Ленца \mathbf{D} можно определить с той же размерностью, что и угловой момент, разделив \mathbf{A} на p_0. Скобка Пуассона \mathbf{D} с вектором углового момента \mathbf{L} запишется в похожем виде

[D_i,\;L_{j}]=\sum_{s=1}^3\varepsilon_{ijs}D_s.

Скобка Пуассона \mathbf{D} с \mathbf{D} зависит от знака E, то есть когда полная энергия E отрицательна (эллиптические орбиты под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния) или положительная (гиперболические орбиты). Для отрицательных энергий скобки Пуассона примут вид

[D_i,\;D_j]=\sum_{s=1}^3\varepsilon_{ijs}L_s.

В то время как для положительных энергий скобки Пуассона имеют противоположный знак

[D_i,\;D_j]=-\sum_{s=1}^3\varepsilon_{ijs}L_s.

Инварианты Казимира для отрицательных энергий определяются посредством следующих соотношений

C_1=\mathbf{D}\cdot\mathbf{D}+\mathbf{L}\cdot\mathbf{L}=\frac{mk^2}{2|E|},
C_2=\mathbf{D}\cdot\mathbf{L}=0

и мы имеем нулевые скобки Пуассона для всех компонент \mathbf{D} и \mathbf{L}

[C_1,\;L_i]=[C_1,\;D_i]=[C_2,\;L_i]=[C_2,\;D_i]=0.

C_2 равен нулю, из-за ортогональности векторов. Однако другой инвариант C_1 нетривиален и зависит только от m, k и E. Этот инвариант можно использовать для вывода спектра атома водорода, используя только квантовомеханическое каноническое коммутационное соотношение, вместо более сложного уравнения Шрёдингера.

Теорема Нётер[править | править вики-текст]

Теорема Нётер утверждает, что инфинитезимальная вариация обобщённых координат физической системы

\delta q_i=\varepsilon g_i(\mathbf{q},\;\mathbf{\dot{q}},\;t)

вызывает изменение функции Лагранжа в первом порядке на полную производную по времени

\delta L=\varepsilon\frac{d}{dt}G(\mathbf{q},\;t)

соответствует сохранению величины

J=-G+\sum_i g_i\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}\right).

Сохранённая компонента вектора Лапласа — Рунге — Ленца A_s соответствует вариации координат[30]

\delta x_i=\frac{\varepsilon}{2}[2p_ix_s-x_ip_s-\delta_{is}(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})],

где i равняется 1, 2 и 3, а x_i и p_i — i-ые компоненты векторов положения \mathbf{r} и импульса \mathbf{p}, соответственно. Как обычно, \delta_{is} — символ Кронекера. Получающееся изменение в первом порядке функции Лагранжа запишем как

\delta L=\frac{1}{2}\varepsilon mk\frac{d}{dt}\left(\frac{x_s}{r}+[p^2x_s-p_s(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})]\right).

Это приводит к сохранению компоненты A_s

A_s=[p^2x_s-p_s(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})]-mk\left(\frac{x_s}{r}\right)=[\mathbf{p}\times\mathbf{r}\times\mathbf{p}]_s-mk\left(\frac{x_s}{r}\right).

Законы сохранения и симметрия[править | править вики-текст]

Вариация координаты приводит к сохранению длины вектора Лапласа — Рунге — Ленца (см. теорема Нётер). Это сохранение можно рассматривать как некоторую симметрию системы. В классической механике, симметрии — непрерывные операции, которые отображают одну орбиту на другую, не изменяя энергию системы; в квантовой механике, симметрии — непрерывные операции, которые смешивают атомные орбитали, не изменяя полную энергию. Например, любая центральная сила приводя к сохранению углового момента \mathbf{L}. В физике обычно встречаются консервативные центральные силы, обладающие симметрией группы вращения SO(3). Классически, полное вращение системы не затрагивает энергию орбиты; квантовомеханически, вращения смешивают сферические функции с тем же самым квантовым числом l (вырожденные состояния), не изменяя энергию.

Рис. 7: Семейство кругов годографа импульса для заданной энергии \scriptstyle l. Все круги проходят через две точки \scriptstyle\pm p_0=\pm\sqrt{2m|E|} на оси \scriptstyle p_x (сравните с рис. 3). Это семейство годографов соответствует семейству окружностей Аполлония, и \scriptstyle\sigma изоповерхностям биполярных координат.

Симметрия повышается для центральной силы, обратной квадрату расстояния. Специфическая симметрия проблемы Кеплера приводит к сохранению как вектора углового момента \mathbf{L}, так и вектора Лапласа — Рунге — Ленца \mathbf{A} (как определено выше) и квантовомеханически гарантирует, что уровни энергии атома водорода не зависят от квантовых чисел углового момента l и m. Симметрия является более тонкой, потому что операция симметрии должна иметь место в пространстве большей размерности; такие симметрии часто называют скрытыми симметриями[29]. Классически, более высокая симметрия проблемы Кеплера учитывает непрерывные изменения орбит, которые сохраняют энергию, но не угловой момент; другими словами, орбиты с одинаковой энергией, но различными угловыми моментами (эксцентриситетом) могут быть преобразованы непрерывно друг в друга. Квантовомеханически это соответствует смешиванию орбиталей, которые отличаются квантовыми числами l и m, атомные орбитали типа s (l=0) и p (l=1). Такое смешивание нельзя произвести с обычными трёхмерными трансляциями или вращениями, но оно эквивалентно вращению в пространстве с более высоким измерением.

Связанная система с отрицательной полной энергией обладает симметрией SO(4), которая сохраняет длину четырёхмерных векторов

|\mathbf{e}|^2=e_1^2+e_2^2+e_3^2+e_4^2.

В 1935 году Владимир Фок показал, что квантовомеханическая проблема Кеплера эквивалентна проблеме свободной частицы, ограниченной четырёхмерной гиперсферой [7]. В частности, Фок показал, что волновая функция уравнения Шрёдингера в пространстве импульсов для проблемы Кеплера представляет собой четырехмерное обобщение стереографической проекции сферических функций из 3-сферы в трехмерное пространство. Вращение гиперсферы и перепроектирование приводит к непрерывному преобразованию эллиптических орбит, не изменяющему энергию; квантовомеханически это соответствует смешиванию всех орбиталей с одинаковым главным квантовым числом n. Валентин Баргман отметил впоследствии, что скобки Пуассона для вектора углового момента \mathbf{L} и скалированного вектора Лапласа — Рунге — Ленца \mathbf{D} формируют алгебру Ли для SO(4). [8] Проще говоря, эти шесть величин \mathbf{D} и \mathbf{L} соответствуют шести сохраняющимся угловым импульсам в четырёх измерениях, связанных с шестью возможными простыми вращениями в этом пространстве (есть шесть способов выбрать две оси из четырёх). Это заключение не подразумевает, что наша Вселенная — четырёхмерная гиперсфера; это просто означает, что эта специфическая проблема физики (проблема двух тел для центральной силы, зависящей обратно квадрату расстояния) математически эквивалентна свободной частице на четырёхмерной гиперсфере.

Рассеянная система с положительной полной энергией обладает симметрией SO(3,1), которая сохраняет длину 4-вектора в пространстве с метрикой Минковского

ds^2=e_1^2+e_2^2+e_3^2-e_4^2.

Фок[7] и Баргман[8] рассмотрели как отрицательные, так и положительные энергии. Они также были рассмотрены энциклопедически Бендером и Ициксоном[31][32].

Симметрия вращений в четырёхмерном пространстве[править | править вики-текст]

Рис. 8: Годограф импульса на рис. 7 соответствует стереографической проекции больших кругов из четырёхмерной \scriptstyle\eta сферы единичного радиуса. Все большие круги пересекают \scriptstyle\eta_x ось, которая направлена перпендикулярно странице. Проекция из северного полюса (единичный вектор \scriptstyle \mathbf{w}) к (\scriptstyle\eta_x-\scriptstyle\eta_y) плоскости, как показано для пурпурного годографа пунктирной чёрной линией. Большой круг на широте \scriptstyle \alpha соответствует эксцентриситету \scriptstyle e=\sin\alpha. Цвета больших кругов, показанных здесь, соответствуют цветам их годографов на рис. 7.

Связь между проблемой Кеплера и вращениями в четырёхмерном пространстве SO(4) можно достаточно просто визуализировать[31][33][34]. Пусть в четырёхмерном пространстве заданы декартовы координаты, которые обозначены (w,\;x,\;y,\;z), где (x,\;y,\;z) представляют декартовы координаты обычного положения трёхмерного вектора \mathbf{r}. Трёхмерный вектор импульса \mathbf{p} связан с четырёхмерным вектором \boldsymbol{\eta} на четырёхмерной единичной сфере посредством

\boldsymbol\eta=\frac{p^2-p_0^2}{p^2+p_0^2}\mathbf{\hat{w}}+\frac{2p_0}{p^2+p_0^2}\mathbf{p}=\frac{mk-rpp_0}{mk}\mathbf{\hat{w}}+\frac{rp_0}{mk}\mathbf{p},

где \mathbf{\hat{w}} — единичный вектор вдоль новой оси w. Поскольку \boldsymbol{\eta} имеет только три независимые компоненты, то этот вектор можно обратить, получив выражение для \mathbf{p}. Например, для компоненты x

p_x=p_0\frac{\eta_x}{1-\eta_w}

и аналогично для p_y и p_z. Другими словами, трёхмерный вектор \mathbf{p} является стереографической проекцией четырёхмерного вектора \boldsymbol{\eta}, умноженному на p_0 (рис. 8).

Без потери общности, мы можем устранить нормальную вращательную симметрию, выбирая декартовы координаты, где ось z направлена вдоль вектора углового момента \mathbf{L}, и годограф импульса расположен как показано на рисунке 7, с центрами кругов на оси y. Так как движение происходит в плоскости, а \mathbf{p} и L ортогональны, p_z=\eta_z=0, и внимание можно сосредоточить на трёхмерном векторе \boldsymbol{\eta}=(\eta_w,\;\eta_x,\;\eta_y). Семейство окружностей Аполлония годографов импульса (рис. 7) соответствует множеству больших кругов на трёхмерной сфере \boldsymbol{\eta}, все из которых пересекают ось \eta_x в этих двух фокусах \eta_x=\pm 1, соответствующих фокусам годографа импульса при p_x=\pm p_0. Большие круги связаны простым вращением вокруг оси \eta_x (рис. 8). Эта вращательная симметрия преобразует все орбиты с той же самой энергией друг в друга; однако, такое вращение ортогонально к обычным трёхмерным вращениям, так как оно преобразует четвёртое измерение \eta_w. Эта более высокая симметрия характерна для проблемы Кеплера и соответствует сохранению вектора Лапласа — Рунге — Ленца.

Изящное решение для проблемы Кеплера с использованием переменных угол-действие можно получить, избавляясь от избыточной четырёхмерной координаты \boldsymbol{\eta} и используя эллиптические цилиндрические координат (\alpha,\;\beta,\;\varphi) [35]

\eta_w=\mathrm{cn}\,\alpha\,\mathrm{cn}\,\beta,
\eta_x=\mathrm{sn}\,\alpha\,\mathrm{dn}\,\beta\cos\varphi,
\eta_y=\mathrm{sn}\,\alpha\,\mathrm{dn}\,\beta\sin\varphi,
\eta_z=\mathrm{dn}\,\alpha\,\mathrm{sn}\,\beta,

где используются эллиптические функции Якоби: \mathrm{sn}, \mathrm{cn} и \mathrm{dn}.

Применение и обобщения[править | править вики-текст]

Квантовая механика атома водорода[править | править вики-текст]

Рис. 9: Уровни энергии водородного атома, предсказанные с использованием коммутационных соотношений углового момента и векторных операторов Лапласа — Рунге — Ленца; эти уровни энергии были проверены экспериментально.

Скобки Пуассона дают простой способ для квантования классической системы. Коммутатор двух квантовомеханических операторов равняется скобке Пуассона соответствующих классических переменных, умноженной на i\hbar [36]. Выполняя это квантование и вычисляя собственные значения C_{1} оператора Казимира для проблемы Кеплера, Вольфганг Паули вывел энергетический спектр водородоподобного атома (рис. 9) и, таким образом, его атомный эмиссионный спектр[3]. Это изящное решение было получено до получения уравнения Шрёдингера[37].

Особенность квантовомеханического оператора для вектора Лапласа — Рунге — Ленца \mathbf{A} заключается в том, что импульс и операторы углового момента не коммутируют друг с другом, следовательно, векторное произведение \mathbf{p} и \mathbf{L} должно быть определено тщательно[38]. Как правило, операторы в декартовой системе координат A_s определены с помощью симметризованного произведения

A_s=-mk\hat{r}_s+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\varepsilon_{sij}(p_il_j+l_jp_i),

из которого определяются соответствующие лестничные операторы

A_0=A_3,
A_{\pm 1}=\mp\frac{1}{\sqrt{2}}(A_1\pm iA_2).

Нормированный оператор первого инварианта Казимира может быть определён подобным образом

C_1=-\frac{mk^2}{2\hbar^2}H^{-1}-I,

где H^{-1} — оператор, обратный к оператору энергии (гамильтониан) и I — единичный оператор. Применяя эти лестничные операторы к собственным состояниям |lmn\rangle операторов полного углового момента, азимутального углового момента и энергии, можно показать, что собственные состояния первого оператора Казимира задаются формулой n^2-1. Следовательно, уровни энергии даются выражением

E_n=-\frac{mk^2}{2\hbar^2n^2},

которое идентично формуле Ридберга для атома водорода (рис 9).

Обобщение на другие потенциалы и СТО[править | править вики-текст]

Вектор Лапласа — Рунге — Ленца был обобщён на другие потенциалы и даже на специальную теорию относительности. Наиболее общую форму этого вектора можно записать в виде[11]

\mathcal{A}=\left(\frac{\partial\xi}{\partial u}\right)(\mathbf{p}\times\mathbf{L})+\left[\xi-u\left(\frac{\partial\xi}{\partial u}\right)\right]L^2\mathbf{\hat{r}},

где u=1/r (см. теорема Бертрана) и \xi=\cos\theta, с углом \theta, определённым как

\theta=L\int\limits^u\frac{du}{\sqrt{m^2c^2(\gamma^2-1)-L^2u^2}}.

Здесь \gamma — релятивистский фактор. Как и раньше, можно получить сохраняющийся вектор бинормали \mathbf{B}, взяв векторное произведение с сохраняющимся вектором углового момента

\mathcal{B}=\mathbf{L}\times\mathcal{A}.

Эти два вектора можно соединить в сохраняющийся двухкомпонентный тензор W

\mathcal{W}=\alpha\mathcal{A}\otimes\mathcal{A}+\beta\mathcal{B}\otimes\mathcal{B}.

Для примера вычислим вектор Лапласа — Рунге — Ленца для нерелятивистского изотропного гармонического осциллятора. [11] Рассмотрим центральную силу:

\mathbf{F}(r)=-k\mathbf{r}

вектор углового момента сохраняется, и поэтому движение происходит в плоскости. Сохраняющийся тензор можно переписать в более простом виде:

\mathbf{W}=\frac{1}{2m}\mathbf{p}\otimes\mathbf{p}+\frac{k}{2}\mathbf{r}\otimes\mathbf{r},

хотя нужно заметить, что p и r не перпендикулярны, как A и B. Соответствующий вектор Лапласа — Рунге — Ленца имеет более сложную запись

\mathbf{A}=\frac{1}{\sqrt{mr^2\omega_0A-mr^2E+L^2}}\{(\mathbf{p}\times\mathbf{L})+(mr\omega_0A-mrE)\mathbf{\hat{r}}\},

где \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}} — частота осциллятора.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  1. Арнольд В. И.  Математические методы классической механики. 5-е изд. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — ISBN 5-354-00341-5.; в сети в электронном виде есть 3-е изд. за 1988 год, см. Добавление 8, на стр. 381
  2. 1 2 3 4 Голдстейн Г.  Классическая механика. 2-е изд. — М.: Наука, 1975. — 415 с.
  3. 1 2 3 Pauli, W. (1926). «Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik». Zeitschrift für Physik 36: 336—363.
  4. 1 2 Hamilton, W. R. (1847). «The Hodograph, or a new Method of expressing in symbolical Language the Newtonian Law of Attraction». Proceedings of the Royal Irish Academy 3: 344—353.
  5. Хикок Ф. А.  Графики космического полёта. — М.: Машиностроение, 1968. — 133 с. — Гл. 3. Анализ траекторий с помощью полярных диаграмм, с. 42.
  6. Гулд Х., Тобочник Я.  Компьютерное моделирование в физике. Т. 1. — М.: Мир, 1990. — 352 с. — ISBN 5-03-001593-0.. — Задача 4.9. Свойства орбит в пространстве скоростей, с. 88.
  7. 1 2 3 Fock, V. (1935). «Zur Theorie des Wasserstoffatoms». Zeitschrift für Physik 98: 145—154.
  8. 1 2 3 Bargmann, V. (1936). «Zur Theorie des Wasserstoffatoms: Bemerkungen zur gleichnamigen Arbeit von V. Fock». Zeitschrift für Physik 99: 576—582.
  9. 1 2 Goldstein, H. (1975). «Prehistory of the Runge-Lenz vector». American Journal of Physics 43: 735—738.
    Goldstein, H. (1976). «More on the prehistory of the Runge-Lenz vector». American Journal of Physics 44: 1123—1124.
  10. 1 2 3 Hamilton, W. R. (1847). «On the Application of the Method of Quaternions to some Dynamical Questions». Proceedings of the Royal Irish Academy 3: Appendix III, pp. xxxvi—l.
  11. 1 2 3 4 5 Fradkin, D. M. (1967). «Existence of the Dynamic Symmetries O4 and SU3 for All Classical Central Potential Problems». Progress of Theoretical Physics 37: 798—812.
  12. 1 2 Yoshida, T. (1987). «Two methods of generalisation of the Laplace-Runge-Lenz vector». European Journal of Physics 8: 258—259.
  13. Hermann, J. (1710). «Metodo d'investigare l'orbite de' pianeti». Giornale de Letterati D'Italia 2: 447—467.
    Hermann, J. (1710). «Extrait d'une lettre de M. Herman à M. Bernoulli datée de Padoüe le 12. Juillet 1710». Histoire de l'academie royale des sciences (Paris) 1732: 519—521.
  14. Bernoulli, J. (1710). «Extrait de la Réponse de M. Bernoulli à M. Herman datée de Basle le 7. Octobre 1710». Histoire de l'academie royale des sciences (Paris) 1732: 521—544.
  15. Laplace P. S.  Traité de mécanique celeste. Tome I, Premiere Partie, Livre II. — Paris, 1799. — P. 165ff.
  16. Gibbs J. W., Gibbs E. B.  Vector Analysis. — New York: Scribners, 1901. — 436 p. — P. 135.
  17. Runge C.  Vektoranalysis. Bd. I. — Leipzig: Hirzel, 1919. — 436 p.
  18. Lenz, W. (1924). «Über den Bewegungsverlauf und Quantenzustände der gestörten Keplerbewegung». Zeitschrift für Physik 24: 197—207.
  19. Evans, N. W. (1990). «Superintegrability in classical mechanics». Physical Review A 41: 5666—5676.
  20. Зоммерфельд А.  Atomic Structure and Spectral Lines. — London: Methuen, 1923. — 118 p.
  21. 1 2 3 Landau L. D., Lifshitz E. M.  Mechanics. 3rd ed. — Pergamon Press, 1976. — ISBN 0-08-029141-4.. — P. 154;  Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.  Механика. 5-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 224 с. — (Курс теоретической физики, том 1). — ISBN 5-9221-0055-6. — § 15. Кеплерова задача, «сохраняющийся вектор», с. 56; § 52. Условно-периодическое движение, задача с решением в полярных координатах, с. 217.
  22. Evans, N. W. (1991). «Group theory of the Smorodinsky-Winternitz system». Journal of Mathematical Physics 32: 3369—3375.
  23. Dulock, V. A.; McIntosh H. V. (1966). «On the Degeneracy of the Kepler Problem». Pacific Journal of Mathematics 19: 39—55.
  24. Redmond, P. J. (1964). «Generalization of the Runge-Lenz Vector in the Presence of an Electric Field». Physical Review 133: B1352—B1353.
  25. 1 2 Einstein, A. (1915). «Erklärung der Perihelbeivegung der Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie.». Sitzungsberichte der der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften 47 (2): 831—839.
  26. Le Verrier, U. J. J. (1859). «Sur la théorie de Mercure et sur le mouvement du périhélie de cette planète; Lettre de M. Le Verrier à M. Faye.». Comptes Rendus de l'Academie de Sciences (Paris) 49: 379—383.[1]
  27. Will C. M.  General Relativity, an Einstein Century Survey / Ed. by S. W. Hawking and W. Israel. — Cambridge: Cambridge University Press, 1979.
  28. Pais A. Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein. — Oxford University Press, 1982.
    Пайс, Абрахам.  Научная деятельность и жизнь Альберта Эйнштейна / Под ред. А. А. Логунова. — М.: Наука, 1989. — 566 с. — ISBN 5-02-014028-7..
  29. 1 2 Prince, G. E.; Eliezer C. J. (1981). «On the Lie symmetries of the classical Kepler problem». Journal of Physics A: Mathematical and General 14: 587—596.
  30. Lévy-Leblond, J. M. (1971). «Conservation Laws for Gauge-Invariant Lagrangians in Classical Mechanics». American Journal of Physics 39: 502—506.
  31. 1 2 Bander, M.; Itzykson C. (1966). «Group Theory and the Hydrogen Atom (I)». Reviews of Modern Physics 38: 330—345.
  32. Bander, M.; Itzykson C. (1966). «Group Theory and the Hydrogen Atom (II)». Reviews of Modern Physics 38: 346—358.
  33. Rogers, H. H. (1973). «Symmetry transformations of the classical Kepler problem». Journal of Mathematical Physics 14: 1125—1129.
  34. Guillemin V. Variations on a Theme by Kepler. — American Mathematical Society Colloquium Publications, volume 42, 1990. — ISBN 0-8218-1042-1..
  35. Lakshmanan, M.; Hasegawa H. «On the canonical equivalence of the Kepler problem in coordinate and momentum spaces». Journal of Physics A 17: L889—L893.
  36. Dirac P. A. M.  Principles of Quantum Mechanics. 4th edition. — Oxford University Press, 1958.
  37. Schrödinger, E. (1926). «Quantisierung als Eigenwertproblem». Annalen der Physik 384: 361—376.
  38. Bohm A.  Quantum Mechanics: Foundations and Applications. 2nd edition. — Springer Verlag, 1986. — P. 208—222.

Дополнительное чтение[править | править вики-текст]

  • Leach, P.G.L.; G.P. Flessas (2003). «Generalisations of the Laplace — Runge — Lenz vector». J. Nonlinear Math. Phys. 10: 340—423. Статья посвящена обобщению вектора Лапласа — Рунге — Ленца на потенциалы, отличные от кулоновского. arxiv.org