Вектор (геометрия)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Вектор \overrightarrow{AB}

В геометрии вектор — направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом[1].

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как \overrightarrow{AB}. Векторы также могут обозначаться малыми латинскими буквами со стрелкой (иногда — чёрточкой) над ними, например \vec{a}. Другой распространённый способ записи: выделение символа вектора жирным шрифтом: \mathbf{a}.

Основные понятия[править | править вики-текст]

Длиной вектора \overrightarrow{AB} называется длина отрезка AB, её обычно обозначают |\overrightarrow{AB}|. Роль нуля среди векторов играет нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают; ему, в отличие от других векторов, не приписывается никакого направления[2].

Проекция вектора на направленную прямую \mathbf{e}

Для координатного представления векторов большое значение имеет понятие проекции вектора на ось (направленную прямую, см. рисунок). Проекцией называется длина отрезка, образованного проекциями точек начала и конца вектора на заданную прямую, причём проекции приписывается знак плюс, если направление проекции соответствует направлению оси, иначе — знак минус. Проекция равна длине исходного вектора, умноженной на косинус угла между исходным вектором и осью; проекция вектора на перпендикулярную ему ось равна нулю.

Применения[править | править вики-текст]

Векторы находят широкое применение в геометрии и в прикладных науках, где используются для представления величин, имеющих направление (силы, скорости и т. п.). Применение векторов упрощает ряд операций — например, определение углов между прямыми или отрезками, вычисление площадей фигур. В компьютерной графике вектора-нормали используются, чтобы создать правильное освещение тела. Использование векторов лежит в основе метода координат.

Виды векторов[править | править вики-текст]

Иногда вместо того, чтобы рассматривать в качестве векторов множество всех равных направленных отрезков, берут только некоторую модификацию этого множества (фактормножество). Так, говорят о «свободных», «скользящих» и «фиксированных» векторах. Эти виды отличаются понятием равенства двух векторов. Говоря о свободных векторах, отождествляют любые векторы, имеющие одинаковое направление и длину; говоря о скользящих — добавляют, что начало и конец должны лежать на одной прямой, а о фиксированных — должны совпадать. Формально:

Говорят, что свободные векторы \overrightarrow{AB} и \ \overrightarrow{CD} равны, если найдутся точки E и F такие, что четырёхугольники ABFE и CDFEпараллелограммы.

Говорят, что скользящие векторы \overrightarrow{AB} и \ \overrightarrow{CD} равны, если

  • точки A, B, C, D располагаются на одной прямой,
  • векторы \overrightarrow{AB} и \ \overrightarrow{CD} равны между собой как свободные векторы.

Скользящие векторы особо употребимы в механике. Простейший пример скользящего вектора в механике — сила. Перенос такого начала вектора вдоль прямой, на которой он лежит, не меняет момента силы относительно любой точки; перенос же его на другую прямую, даже если не менять величины и направления вектора, может вызвать изменение его момента (даже почти всегда вызовет): поэтому нельзя рассматривать силу как свободный вектор.

Говорят, что фиксированные векторы \overrightarrow{AB} и \ \overrightarrow{CD} равны, если попарно совпадают точки A и C, B и D.

Вектором в одном случае называется направленный отрезок, а в других случаях различные векторы — это разные классы эквивалентности направленных отрезков, определяемые неким конкретным отношением эквивалентности. Причем отношение эквивалентности может быть разным, определяя тип вектора («свободный», «фиксированный» итд). Проще говоря, внутри класса эквивалентности все входящие в него направленные отрезки рассматриваются как совершенно равные, и каждый может равно представлять весь класс.

Все операции над векторами (сложение, умножение на число, скалярное и векторное произведения, вычисление модуля или длины, угла между векторами и т. д.) в принципе определены одинаково для всех типов векторов, различие в типах сводится в этом отношении только к тому, что для скользящих и фиксированных наложено ограничение на возможность осуществления операций между двумя векторами, имеющими разное начало (так, для двух фиксированных векторов запрещено — или лишено смысла — сложение, если их начала отличаются; однако для всех случаев, когда эта операция разрешена — или имеет смысл — она такова же, как для свободных векторов). Поэтому часто тип вектора вообще явно не указывается, подразумевается, что он очевиден из контекста. Более того, один и тот же вектор в зависимости от контекста задачи может рассматриваться как фиксированный, скользящий или свободный, например, в механике векторы сил, приложенных к телу, могут суммироваться независимо от точки приложения при нахождении равнодействующей (и в статике, и в динамике при исследовании движения центра масс, изменения импульса и т. п.), но не могут складываться друг с другом без учета точек приложения при вычислении вращающего момента (также и в статике и в динамике).

Отношения между векторами[править | править вики-текст]

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых, либо на одной прямой. Два вектора называются сонаправленными, если они коллинеарны и направлены в одну сторону, противоположно направленными, если коллинеарны и направлены в разные стороны. Есть и другое определение: два ненулевых вектора \vec{a} и \vec{b} называются коллинеарными, если существует некоторое число \alpha такое, что \vec{a} = \alpha \vec{b}[3]
Три вектора называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости[3].

Координатное представление[править | править вики-текст]

Разложение вектора \vec{a} по базису

При работе с векторами часто вводят некоторую декартову систему координат и в ней определяют координаты вектора, раскладывая его по базисным векторам. Разложение по базису геометрически можно представить при помощи проекций вектора на координатные оси. Если известны координаты начала и конца вектора, координаты самого вектора получаются вычитанием из координат конца вектора координат его начала.

\overrightarrow{AB} = (AB_x, AB_y, AB_z) = (B_x - A_x, B_y - A_y, B_z - A_z)

За базис часто выбирают координатные орты, обозначаемые  \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}, соответственно осям x, y, z. Тогда вектор \vec{a} можно записать как

 \vec{a} = a_x \vec{i} + a_y \vec{j} + a_z \vec{k}

Любое геометрическое свойство можно записать в координатах, после чего исследование из геометрического становится алгебраическим и при этом часто упрощается. Обратное, вообще говоря, неверно: не всякое соотношение в координатах имеет геометрическое истолкование, но лишь те соотношения, которые выполняются в любой декартовой системе координат (инвариантные).

Операции над векторами[править | править вики-текст]

Модуль вектора[править | править вики-текст]

Модулем вектора \overrightarrow{AB} называется число, равное длине отрезка AB. Обозначается, как |\overrightarrow{AB}|. Через координаты вычисляется, как:

 |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}

Сложение векторов[править | править вики-текст]

Два вектора \vec{a}, \vec{b} и вектор их суммы

В координатном представлении вектор суммы получается суммированием соответствующих координат слагаемых:

\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z)

Для геометрического построения вектора суммы \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} используют различные правила (методы), однако они все дают одинаковый результат. Использование того или иного правила обосновывается решаемой задачей.

Правило треугольника[править | править вики-текст]

Для сложения двух векторов \vec{a} и \vec{b} по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора. Это правило прямо и естественно обобщается для сложения любого количества векторов, переходя в правило ломаной: начало второго вектора совмещается с концом первого, начало третьего — с концом второго и т. д., сумма же n векторов есть вектор, с началом, совпадающим с началом первого, и концом, совпадающим с концом n-го (то есть изображается направленным отрезком, замыкающим ломаную).

Модуль полученного вектора можно вычислить, использую теорему косинусов:

|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos (\vec{a},\vec{b}), где \cos (\vec{a},\vec{b}) — косинус угла между векторами \vec{a} и \vec{b}, когда они соединены в соответствии с правилом.

Правило параллелограмма[править | править вики-текст]

Для сложения двух векторов \vec{a} и \vec{b} по правилу параллелограмма оба эти векторы переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

Вычитание векторов[править | править вики-текст]

Два вектора \vec{a}, \vec{b} и вектор их разности

Для получения разности в координатной форме надо вычесть соответствующие координаты векторов:

\vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x, a_y - b_y, a_z - b_z)

Для получение вектора разности \vec{c} = \vec{a} - \vec{b} начала векторов соединяются и началом вектора \vec{c} будет конец \vec{b}, а концом — конец \vec{a}. Если записать, используя точки векторов, то \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}.
Три вектора  \vec{a}, \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}, как и при сложении, образуют треугольник, и выражение для модуля разности получается аналогичным:

|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos (\vec{a},\vec{b}).

Основное отличие состоит в том, что берутся разные углы, в случае суммы берётся угол, когда вектор \vec{b} переносится к концу вектора \vec{a}, когда же ищется модель разности, берётся угол между векторами, приложенными к одной точке. Выражение для модуля суммы можно переписать, используя указанное положение векторов, тогда оно будет выглядеть следующим образом:

|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos (\vec{a},\vec{b}).

Умножение вектора на число[править | править вики-текст]

Вектор \vec{a} и вектора, получаемые из него, домножением на число

Умножение вектора \vec{a} на число \alpha > 0 , даёт сонаправленный вектор в длиной в \alpha раз больше.
Умножение вектора \vec{a} на число \alpha < 0 , даёт противоположно направленный вектор в длиной в \alpha раз больше. Умножение вектора на число в координатной форме производится умножением всех координат на это число:

 \alpha \vec{a} = (\alpha a_x, \alpha a_y, \alpha a_z)

Исходя из определения получается выражение для модуля вектора, умноженного на число:

|\alpha \vec{a}| = |\alpha| |\vec{a}|

Аналогично как и числами, операции сложение вектора с самим с собой можно записать через умножение на число:

 \vec{a} + \vec{a} = 2 \vec{a}

А вычитание векторов можно переписать через сложение и умножение:

 \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})

Исходя из того, что умножение на -1 не меняет длины вектора, а меняет только направление и учитывая определение вектора, получаем:

-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}

Скалярное произведение векторов[править | править вики-текст]

Для геометрических векторов скалярное произведение определяется через их геометрические характеристики и вводится следующим образом:

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos (\vec{a},\vec{b})

В данном случае берётся угол, образованный векторами, если приложить их к одной точке. Так же выражение можно переписать через координаты:

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z

Скалярным квадратом вектора называется его скалярное произведение само на себя и может быть вычислено через модуль вектора:

 \vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2

Векторное произведение векторов[править | править вики-текст]

Векторным произведением двух векторов \vec{a} и \vec{b} называется такой вектор \vec{a} \times \vec{b}, который ортогонален плоскости векторов \vec{a} и \vec{b}, его длина равняется площади параллелограмма, образованного векторами, а направление определяется по правилу правой руки.

Смешанное произведение векторов[править | править вики-текст]

Смешанным произведением трёх векторов \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} называется число, определяемое следующим образом:

(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \vec{a} \cdot ( \vec{b} \times \vec{c} )

Модуль этой величины даёт объём параллелепипеда , построенного на векторах \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия 7-9 классы. — Москва: Просвещение, 2010. — 384 с. — ISBN 978-5-09-023915-8.
  2. Элементарная математика, 1976, с. 249.
  3. 1 2 Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — Москва: Астрель, 2006. — 991 с. — ISBN 5-271-03651-0.