Величина (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Величина — математическое понятие, для которого может быть определёно отношение неравенства и смысл операции сложения, и выполняться ряд свойств, включая аксиомы Архимеда и непрерывности. Величина является одним из основных понятий математики.

Первоначально была определена положительная скалярная величина с отношением неравенства и операцией сложения. Среди её обобщений векторы и тензоры, для которых нельзя определить отношение неравенства, «неархимедовы» величины, для которых не выполняется аксиома Архимеда. Система действительных чисел также может рассматриваться как обобщение понятия величина.

Скалярная величина[править | править вики-текст]

Для однородных скалярных величин устанавливается отношение неравенства (две величины одного и того же рода или совпадают, или первая меньше второй, или вторая меньше первой) и смысл операции сложения. Они обладают следующими свойствами:

  1. для любых a и b имеет смысл только одно из трёх соотношений
  2. выполняется транзитивной отношений меньше и больше
  3. существует однозначно определённая сумма любых двух величин
  4. выполняется коммутативность сложения
  5. выполняется ассоциативность сложения
  6. выполняется монотонность сложения
  7. существует однозначно определённая возможность вычитания
  8. существует возможность деления
  9. выполняется аксиома Архимеда
  10. выполняется аксиома непрерывности

Исторический очерк[править | править вики-текст]

С развитием математики смысл понятия величина подвергался обобщением. Евклид (з в до н. э.) ввёл понятие положительной скалярной величины, что являлось непосредственным обобщением таких конкретных понятий как длина, площадь, объём, масса. В своём труде «Начала» он сформулировал основные свойства величины. Род величины связан со способом сравнения объектов. Например понятие длины вытекает из сравнения отрезков с помощью наложения: отрезки имеют одиннаковую длину если совпадают при наложениие, и длина одного отрезка меньше длины другого, если при наложении первый отрезок не покрывает второй целиком. Сравнение плоских фигур приводит к понятию площади, пространственных тел — объёма.

Древнегреческие математики развили теорию измерения величин, основанную на первых девяти свойствах величины (включая аксиому Архимеда). Система всех длин, находящихся в рациональном отношении к единичной длине, удовлетворяет требованиям 1-9, но не охватывает систему всех длин вообще. Открытие существования несоизмеримых отрезков приписывается Пифагору (6 век до н. э.). Для полного определения системы положительных скалярных величин была введена акциома непрерывности. В результате, все величины системы однозначно представляются в виде, где — положительное действительное число, а — единица измерения.

Следующим этапом стало рассмотрение направленных отрезков на прямой и противоположно направленных скоростей. Если к системе положительных скалярных величин добавить нуль и отрицательные величины, то полученное обобщение, получившее название скалярной величины, является основным в механике и физике. В таком обобщении — это любое действительное число (положительное, отрицательное или равное нулю). Данное обобщение прибегает к понятию числа, но того же можно добиться изменением в формулировке свойств.

Ссылки[править | править вики-текст]