Верзьера Аньези

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Верзьера Аньези

Верзье́ра (верзие́ра) Анье́зи (иногда ло́кон Анье́зи) — плоская кривая, геометрическое место точек M, для которых выполняется соотношение \textstyle\frac{BM}{BC}=\frac{OA}{OB}, где OA — диаметр окружности, BC — полухорда этой окружности, перпендикулярная OA. Своё название верзьера Аньези получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези, исследовавшей эту кривую.

История[править | править вики-текст]

Пьер Ферма в 1630 году нашёл площадь области между кривой и её асимптотой. В 1703 году Гвидо Гранди[en], независимо от Ферма, описал построение этой кривой, а в работе 1718 года назвал её верзьерой (итал. Versiera, от лат. Versoria), так как в его конструкции использовалась функция синус-верзус.[1]

В 1748 году Мария Аньези опубликовала известный обобщающий труд Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana, в котором кривая, как и в работе Гранди, именовалась верзьерой. По совпадению, итальянское слово Versiera/Aversiera, производное от латинского Adversarius, имело также значение «ведьма» (англ. witch)[2]. Возможно, по этой причине кембриджский профессор Джон Колсон, переводивший труд Аньези на английский, неправильно перевёл это слово, в результате чего в литературе на английском языке кривая часто именуется the witch of Agnesi.

Уравнения[править | править вики-текст]

O=(0,0), A=(0,a)

y=\frac{a^3}{a^2+x^2}
  • Параметрическое уравнение:
\begin{cases}x=a\,\operatorname{tg}\,\varphi \\y=a\cos^2\varphi \end{cases}, где \varphi — угол между OA и OC
\textstyle \rho\sin{\varphi}=\frac{a^3}{a^2+\rho^2\cos^{2}\varphi}
\textstyle \rho^3(\cos^2\varphi\sin\varphi)+\rho(a^2\sin\varphi)-a^3=0

Однако полученная формула будет слишком сложной и громоздкой, чтобы иметь какое-либо практическое значение.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Верзьера — кривая третьего порядка.
  • Диаметр OA единственная ось симметрии кривой.
  • Кривая имеет один максимум — A(0;a) и две точки перегиба — \textstyle P_{1,2}\left (\pm\frac{a}{\sqrt{3}};\frac{3a}{4}\right )
  • В окрестности вершины A верзьера приближается к окружности диаметра OA. В точке A происходит касание, и кривая совпадает с окружностью. Это показывает величина радиуса кривизны в точке A: \textstyle R_A=\frac{a}{2}.
  • Площадь под графиком S=\pi a^2. Она вычисляется интегрированием уравнения по всему \textstyle\mathbb{R}.
  • Объём тела вращения верзьеры вокруг своей асимптоты (оси OX) \textstyle V=\frac{\pi^2 a^3}{2}.

Построение[править | править вики-текст]

Построение верзьеры

Строится окружность диаметра a и касательная к ней. На касательной выбирается система отсчёта с началом в точке касания. Строится прямая через выбранную точку касательной и точку окружности, противоположную точке касания. Эта прямая пересекает окружность в некоторой точке. Через эту точку строится прямая, параллельная касательной. Точка верзьеры лежит на пересечении этой прямой и перпендикуляра к касательной в выбранной точке.

Интересные факты[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — М.: АСТ:Астрель, 2006.

Ссылки[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. C. Truesdell. Correction and Additions for 'Maria Gaetana Agnesi // Archive for History of Exact Science. — 1991. — Vol. 43. — P. 385-386. — DOI:10.1007/BF00374764
  2. Pietro Fanfani. Vocabolario dell' uso toscano, p. 334
  3. Локон красавицы и арбалет великана: тренажер «Нитка» — прошлое и будущее