Взаимнокорреляционная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Взаимнокорреляционная функция — стандартный метод оценки степени корреляции двух последовательностей. Рассмотрим два ряда f и g. Взаимная корреляция определяется по формуле:

$(f\star g)_i \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_j f^*_j\,g_{i+j}$ ,

где i — сдвиг между последовательностями относительно друг друга, а верхний индекс в виде звёздочки означает комплексное сопряжение. В общем случае, для непрерывных функций f (t) и g (t) взаимная корреляция определяется как

$(f \star g)(t)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \int_{-\infty}^{\infty} f^*(\tau)\ g(t+\tau)\,d\tau,$

Если $X$ и $Y$ — два независимых случайных числа с функциями распределения вероятностей соответсвенно f и g, тогда взаимная корреляция f $\star$ g соответствует распределению вероятностей выражения $- X + Y$ . Напротив, свёртка f $*$ g соответствует распределению вероятностей суммы $X + Y$ .

[править] Свойства

Взаимная корреляция и свёртка взаимосвязанны:

$f(t)\star g(t) = f^*(-t)*g(t)$

поэтому, если функции f и g чётны, то

$(f\star g) = f*g$

Также: $(f\star g)\star(f\star g)=(f\star f)\star (g\star g)$

По аналогии с теоремой свёртки взаимная корреляция удовлетворяет

$\mathcal{F}[f\star g]=(\mathcal{F}[f])^* \cdot (\mathcal{F}[g])$

где $\mathcal{F}$ означает преобразование Фурье. Данное свойство часто используется вместе с алгоритмами быстрого преобразования Фурье для эффективного вычисления величины взаимной корреляции.