Взаимнокорреляционная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Взаимнокорреляционная функция — стандартный метод оценки степени корреляции двух последовательностей. Она часто используется для поиска в длинной последовательности более короткой заранее известной. Рассмотрим два ряда f и g. Взаимная корреляция определяется по формуле:

(f\star g)_i \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \sum_j f^*_j\,g_{i+j},

где i — сдвиг между последовательностями относительно друг друга, а верхний индекс в виде звёздочки означает комплексное сопряжение. В общем случае, для непрерывных функций f (t) и g (t) взаимная корреляция определяется как

(f \star g)(t)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \int_{-\infty}^{\infty} f^*(\tau)\ g(t+\tau)\,d\tau,

Если X и Y — два независимых случайных числа с функциями распределения вероятностей соответственно f и g, тогда взаимная корреляция f  \star g соответствует распределению вероятностей выражения  -X + Y. Напротив, свёртка f  * g соответствует распределению вероятностей суммы X + Y.

Свойства[править | править вики-текст]

Слева направо: свёртка, взаимная корреляция и автокорреляция

Взаимная корреляция и свёртка взаимосвязанны:

f(t)\star g(t) = f^*(-t)*g(t)

поэтому, если функции f и g чётны, то

(f\star g) = f*g

Также: (f\star g)\star(f\star g)=(f\star f)\star (g\star g)

По аналогии с теоремой свёртки взаимная корреляция удовлетворяет

\mathcal{F}[f\star g]=(\mathcal{F}[f])^* \cdot (\mathcal{F}[g])

где \mathcal{F} означает преобразование Фурье. Данное свойство часто используется вместе с алгоритмами быстрого преобразования Фурье для эффективного вычисления величины взаимной корреляции.

Используется при обработке сигналов, например, для распознавания отраженного от объекта локационного сигнала (радаров, сонаров) в условиях помех. Также используется для анализа случайных процессов, например, в измерениях и статистике.

См. также.[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]