Взаимнокорреляционная функция

Взаимнокорреляционная функция — стандартный метод оценки степени корреляции двух последовательностей. Она часто используется для поиска в длинной последовательности более короткой заранее известной. Рассмотрим два ряда f и g. Взаимная корреляция определяется по формуле:

$(f\star g)_i \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_j f^*_j\,g_{i+j}$,

где i — сдвиг между последовательностями относительно друг друга, а верхний индекс в виде звёздочки означает комплексное сопряжение. В общем случае, для непрерывных функций f (t) и g (t) взаимная корреляция определяется как

$(f \star g)(t)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \int_{-\infty}^{\infty} f^*(\tau)\ g(t+\tau)\,d\tau,$

Если $X$ и $Y$ — два независимых случайных числа с функциями распределения вероятностей соответственно f и g, тогда взаимная корреляция f $\star$ g соответствует распределению вероятностей выражения $-X + Y$. Напротив, свёртка f $*$ g соответствует распределению вероятностей суммы $X + Y$.

Свойства

Слева направо: свёртка, взаимная корреляция и автокорреляция

Взаимная корреляция и свёртка взаимосвязанны:

$f(t)\star g(t) = f^*(-t)*g(t)$

поэтому, если функции f и g чётны, то

$(f\star g) = f*g$

Также: $(f\star g)\star(f\star g)=(f\star f)\star (g\star g)$

По аналогии с теоремой свёртки взаимная корреляция удовлетворяет

$\mathcal{F}[f\star g]=(\mathcal{F}[f])^* \cdot (\mathcal{F}[g])$

где $\mathcal{F}$ означает преобразование Фурье. Данное свойство часто используется вместе с алгоритмами быстрого преобразования Фурье для эффективного вычисления величины взаимной корреляции.

Используется при обработке сигналов, например, для распознавания отраженного от объекта локационного сигнала (радаров, сонаров) в условиях помех. Также используется для анализа случайных процессов, например, в измерениях и статистике.

См. также.

• Автокорреляционная функция
• Свёртка (математический анализ)
• Корреляция
• Теорема Хинчина — Колмогорова

Ссылки

• функция xcorr в MATLAB