Винеровское оценивание

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Винеровское оценивание — задача нахождения импульсной характеристики линейной стационарной системы, которая минимизирует среднюю квадратическую ошибку между реальным y(t) и желаемым d(t) выходными сигналами при бесконечном времени наблюдения. На вход системы подается сигнал f(t), выходной сигнал определяется выражением y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}w(\tau)f(t-\tau)d\tau.

Условия[править | править вики-текст]

Предполагается, что условия применения, характер сигналов и помех остаются достаточно стабильными, их статистические характеристики меняются мало. Если же условия переменны и помехи в процессе работы систем изменяются существенно, то возникает необходимость автоматической оптимизации параметров систем. Это осуществляется в различного рода экстремальных, адаптивных, обучаемых системах.

Решение задачи[править | править вики-текст]

Ошибка системы равна разности между желаемым и реальным выходными сигналами e(t)=d(t)-y(t). Минимальная среднеквадратическая ошибка по определению равна:

\eta=\overline{e^{2}}=\overline{d^{2}}-2\,\overline{d\,y}+\overline{y^{2}} =

\overline{d^{2}}-2\int_{-\infty}^{+\infty} w(\tau)\overline{f(t-\tau)d(t)} \, \mathrm{d}\tau + \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}w(\xi)w(\mu)\overline{f(t-\xi)f(t-\mu)}\, \mathrm{d}\xi\, \mathrm{d}\mu =

\overline{d^{2}}-2\int_{-\infty}^{+\infty} w(\tau)\rho_{fd}(\tau) \mathrm{d}\tau+\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}w(\xi)w(\mu)\rho_{ff}(\xi-\mu) \,\mathrm{d}\xi \,\mathrm{d} \mu.

Здесь используются обозначения для корреляционных функций:

\rho_{fd}(\tau)=\overline{f(t)\,d(t+\tau)}

\rho_{ff}(\tau)=\overline{f(t)\,f(t+\tau)}.

Черта над формулой означает осреднение по времени. Будем считать, что оптимальная импульсная характеристика системы существует и равна w_\text{opt}.

Тогда любая отличающаяся от нее импульсная характеристика системы может быть представлена в виде

w(t) = w_\text{opt}(t)+\alpha\,\theta(t),

где \theta(t) — произвольная функция времени, \alpha — варьируемый коэффициент.

Минимум среднеквадратической ошибки отклонения достигается при \alpha=0. Для поиска w_\text{opt}(t) нужно найти производную показателя качества \eta по коэффициенту вариации \alpha и приравнять ее нулю при \alpha=0:

\frac{\partial\eta}{\partial\alpha}|_{\alpha=0} =

-2\int_{-\infty}^{+\infty}\theta(\tau)\,\rho_{fd}(\tau)\, \mathrm{d}\tau+\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \left[w_\text{opt}(\xi)\,\theta(\mu) + w_\text{opt}(\mu)\,\theta(\xi)\right] \,\rho_{ff}(\xi-\mu) \,\mathrm{d}\xi \,\mathrm{d}\mu =

 -2\int_{-\infty}^{+\infty}\theta(\xi)\rho_{fd}(\xi)\,\mathrm{d}\xi + 2 \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\theta(\xi)\, w_\text{opt}(\mu)\,\rho_{ff}(\xi-\mu)\,\mathrm{d}\xi\, \mathrm{d} \mu =

2\int_{-\infty}^{+\infty} \theta(\xi)\, \left[\int_{-\infty}^{+\infty}w_\text{opt}(\mu)\rho_{ff}(\xi-\mu)\mathrm{d}\mu- \rho_{fd}(\xi) \right]\, \mathrm{d}\xi = 0

Поскольку \theta(\xi) — произвольная функция, последнее равенство выполняется тогда и только тогда, когда:

\int_{-\infty}^{+\infty} w_\text{opt}(\mu)\, \rho_{ff}(\xi-\mu)\, \mathrm{d}\mu-\rho_{fd}(\xi)=0.

Это и есть уравнение Винера-Хопфа, определяющее оптимальную импульсную характеристику системы по критерию минимальной среднеквадратической ошибки. Для решения применим преобразование Лапласа к полученному уравнению. Известно, что преобразование Лапласа от свертки равно произведению преобразований Лапласа, тогда:

w_\text{opt}(p)S_{ff}(p)-S_{fd}(p)=0,

где w_\text{opt}(p)=L{w_\text{opt}(t)}; S_{ff}(p)=L{\rho_{ff}(t)}; S_{fd}(p)=L{\rho_{fd}(t)}.

Таким образом определяем оптимальный винеровский фильтр 1-го рода:

W_\text{opt I}= \frac{S_{fd}(p)}{S_{ff}(p)}.

Когда порядок полинома в числителе оказывается выше порядка полинома в знаменателе, винеровский фильтр 1-го рода физически нереализуем. Для решения задачи, после определения импульсной характеристики ее принудительно приравнивают нулю при отрицательных значениях t (именно отличие w(t) от нуля при t<0 характеризует физическую нереализуемость системы) и таким образом получают физически реализуемый винеровский фильтр 2-го рода.

История[править | править вики-текст]

Во время второй мировой войны перед американским математиком Н. Винером встала задача отделения полезного сигнала от шума при решении задач автоматизации систем противовоздушной обороны, использующих радиолокационную технику. В 1942 г. Н. Винер решил эту задачу, допустив что искомая система должна быть линейной с постоянными параметрами, время наблюдения бесконечно, входной и желаемый выходной сигналы системы являются стационарными и стационарно связанными случайными процессами, система минимизирует среднюю квадратическую ошибку между желаемым и реальным выходными сигналами.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  1. Норберт Винер «Я-математик», М., «Наука», 1964, гл 12 «Годы войны. 1940—1945», с. 213—265;
  2. Хургин Я. И. «Да, нет или может быть…», 2-е изд., М., «Наука», 1983, 208 с., илл., 32.81 Х98 УДК 62-50 ББК 32.81 6Ф0.1, тир. 100000 экз., гл. «Искусство надежды», с. 138—148;
  3. Л. А. Вайнштейн, В. Д. Зубаков «Выделение сигналов на фоне случайных помех», М., «Советское радио», 1960, 447 с., гл. 1 «Основные понятия теории фильтрации случайных процессов», с. 7-54;
  4. Дж. Бендат «Основы теории случайных шумов и ее применения», М., «Наука», 1965, 464 стр. с илл., гл. 4 «Оптимальное линейное упреждение и фильтрация», с. 165—215;