Вложение Куратовского

Вложение Куратовского — определённое изометрическое вложение метрического пространства в банахово пространство непрерывных ограниченных функций на нём.

Построение

Пусть $X$ есть метрическое пространство и $p\in X$. Обозначим через $dist_{x}:X\to \mathbb {R}$ функцию расстояния от $x$ в $X$. Обозначим через $C_{b}(X)$ банахово пространство ограниченных непрерывных функций и нормой супремума, тогда изометрическое вложение

$\Phi _{p}:X\to C_{b}(X)$

определённое как

$\Phi _{p}(x)=dist_{x}-dist_{p}$

называется вложением Куратовского.

Замечания

• В случае если $X$ имеет конечный диаметр, отображение $\Phi _{p}:X\to C_{b}(X)$,

  $\Phi (x)=dist_{x}$

также называется вложением Куратовского.

История

Отображение впервые рассмотрено Куратовским в 1935 году, однако практически такое же вложение с незначительной вариацией фигурировало в статье Фреше 1910 года.

Применения

• Аналог вложения Куратовского даёт возможность рассматривать все компактные метрические пространства как подмножества одного универсального пространства. Этот факт используется в одном из определений сходимости по Громову — Хаусдорфу.