В алгебре вложенным радикалом называется радикал , содержащийся в другом радикале. Например
5
−
2
5
,
{\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}\ }},}
или более сложный пример
2
+
3
+
4
3
3
.
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {3}}+{\sqrt[{3}]{4}}\ }}.}
Значения всех вложенных радикалов называются выразимыми в радикалах .
Некоторые вложенные радикалы могут быть упрощены. Например:
3
+
2
2
=
1
+
2
,
{\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}\,,}
2
3
−
1
3
=
1
−
2
3
+
4
3
9
3
.
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{2}}-1}}={\frac {1-{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{4}}}{\sqrt[{3}]{9}}}\,.}
В общем случае упрощение является сложной проблемой, если оно вообще возможно. Следующая формула позволяет произвести упрощение в случае, когда
R
=
a
2
−
b
2
c
{\displaystyle R={\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}
a
±
b
c
=
a
+
R
2
±
a
−
R
2
.
{\displaystyle {\sqrt {a\pm b{\sqrt {c}}}}={\sqrt {\frac {a+R}{2}}}\pm {\sqrt {\frac {a-R}{2}}}.}
Например,
a
±
a
2
−
b
2
=
a
+
b
2
±
a
−
b
2
(
|
a
|
≥
|
b
|
)
.
{\displaystyle {\sqrt {a\pm {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}={\sqrt {\frac {a+b}{2}}}\pm {\sqrt {\frac {a-b}{2}}}\quad (|a|\geq |b|).}
В частности, для комплексных чисел (
c
=
−
1
{\displaystyle c=-1}
a
+
b
i
=
±
(
|
z
|
+
a
2
+
i
sgn
(
b
)
|
z
|
−
a
2
)
,
{\displaystyle {\sqrt {a+bi}}=\pm \left({\sqrt {\frac {\left|z\right|+a}{2}}}+i\operatorname {sgn}(b){\sqrt {\frac {\left|z\right|-a}{2}}}\right),}
|
z
|
=
a
2
+
b
2
.
{\displaystyle \left|z\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}
В некоторых случаях бесконечно вложенные радикалы могут быть тождественны некоторому рациональному числу, например выражение
x
=
2
+
2
+
2
+
2
+
⋯
{\displaystyle x={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}}}}
равно 2. Для того чтобы это увидеть, возведем обе части выражения в квадрат и отнимем 2:
x
2
−
2
=
2
+
2
+
2
+
⋯
=
x
{\displaystyle x^{2}-2={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}=x}
x
2
−
x
−
2
=
0
{\displaystyle x^{2}-x-2=0}
x
1
=
2
,
x
2
=
−
1
{\displaystyle x_{1}=2,x_{2}=-1}
Очевидно, что
−
1
{\displaystyle -1}
Для квадратного корня:
a
+
b
a
+
b
a
+
b
a
+
b
⋯
=
b
+
b
2
+
4
a
2
{\displaystyle {\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {\cdots }}}}}}}}}}={\frac {b+{\sqrt {b^{2}+4a}}}{2}}}
Для корня степени
n
{\displaystyle n}
a
+
b
a
+
b
a
+
b
a
+
b
⋯
n
n
n
n
n
=
x
,
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{\cdots }}}}}}}}}}=x,}
где
x
{\displaystyle x}
x
n
−
b
x
−
a
=
0
{\displaystyle x^{n}-bx-a=0}
Формула Рамануджана :
x
+
n
+
a
=
a
x
+
(
n
+
a
)
2
+
x
a
(
x
+
n
)
+
(
n
+
a
)
2
+
(
x
+
n
)
a
(
x
+
2
n
)
+
(
n
+
a
)
2
+
(
x
+
2
n
)
⋯
{\displaystyle x+n+a={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\sqrt {a(x+2n)+(n+a)^{2}+(x+2n){\sqrt {\cdots }}}}}}}}}
Золотое сечение :
ϕ
=
1
+
1
+
1
+
⋯
{\displaystyle \phi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {\cdots }}}}}}}}}
Пластическое число :
ρ
=
1
+
1
+
1
+
⋯
3
3
3
3
{\displaystyle \rho ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{\cdots }}}}}}}}}
Число Пи :
2
π
=
1
2
1
2
+
1
2
1
2
1
2
+
1
2
1
2
+
1
2
1
2
⋯
{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots }
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {3}}+{\sqrt[{3}]{4}}\ }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16622bdbf373e2237bfac23a3c7cf619353e851e)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{2}}-1}}={\frac {1-{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{4}}}{\sqrt[{3}]{9}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9a0cacad52ba247ccc394608bc1d35f054ca453)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{\cdots }}}}}}}}}}=x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad446434acd8335882e16cf64c6cfd0f684c68ad)
![{\displaystyle \rho ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{\cdots }}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f57d707b17b35b13b8cb91411fc2ee1b3127faf4)
