Внешняя алгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Внешнее произведение»)
Перейти к навигации Перейти к поиску

Внешняя алгебра, или алгебра Грассмана, — ассоциативная алгебра, используемая в геометрии при построении теории интегрирования в многомерных пространствах. Впервые введена Грассманом в 1844 году.

Внешняя алгебра над пространством обычно обозначается . Важнейшим примером является алгебра дифференциальных форм на данном многообразии.

Определение и связанные понятия[править | править код]

Внешней алгеброй векторного пространства над полем называют ассоциативную факторалгебру тензорной алгебры по двустороннему идеалу , порождённому элементами вида :

.

Если характеристика поля , то идеал в точности совпадает с идеалом, порождённым элементами вида .

Умножение в такой алгебре при этом называют внешним произведением. По построению оно антикоммутативно:

kвнешней степенью пространства называют векторное пространство , порождённое элементами вида

причём и = { 0 } при k > n.

Если и { e1, …, en } — базис , то базисом является множество

Тогда

причём легко заметить, что внешняя алгебра естественным образом имеет градуировку: если и , то

Свойства[править | править код]

  • Элементы пространства называются r-векторами. В случае, когда характеристика основного поля равна 0, их можно понимать также как кососимметрические r раз контравариантные тензоры над с операцией антисимметризированного (альтернированного) тензорного произведения, то есть внешнее произведение двух антисимметрических тензоров является композицией полной антисимметризации (альтернирования) по всем индексам с тензорным произведением.
    • В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор:
    • Замечание: Нет единого стандарта в том, что значит «антисимметризация». Например, многие авторы предпочитают формулу
  • Внешний квадрат произвольного вектора нулевой:
  • Для r-векторов при чётном r это неверно. Например
  • Линейно независимые системы из -векторов и из порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда -векторы и пропорциональны.

Ссылки[править | править код]

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2002. — ISBN 5-88688-060-7
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Физматлит, 2009.
  • Шутц Б. Геометрические методы математической физики. — М.: Мир, 1984.
  • Ефимов Н. В. Введение в теорию внешних форм. — М.: Наука, 1977.

См. также[править | править код]