Внешне не связанные уравнения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Вне́шне несвя́занные уравне́ния (англ. Seemingly Unrelated Regressions (SUR)) — система эконометрических уравнений, каждое из которых является самостоятельным уравнением со своей зависимой и объясняющими экзогенными переменными. Модель предложена Зельнером в 1968 году. Важной особенностью данных уравнений является то, что несмотря на кажущуюся несвязанность уравнений их случайные ошибки предполагаются коррелированными между собой.

Математическая модель[править | править код]

Пусть имеется m эконометрических линейных уравнений, каждое из которых в матричной форме можно записать следующим образом:

Предполагается, что случайная ошибка каждого уравнения удовлетворяет классическим предположениям об отсутствии гетероскедастичности и автокорреляции, то есть ковариационная матрица вектора случайных ошибок каждого уравнения имеет вид: . Тем не менее, может иметь место корреляция случайных ошибок между уравнениями (в одном и том же наблюдении). Кроме того, дисперсии случайных ошибок в разных уравнениях, вообще говоря, не одинаковы. Обозначим ковариации между случайными ошибками в разных уравнениях . Тогда для каждого наблюдения вектор случайных ошибок уравнений имеет ковариационную матрицу .

Введём обозначения

Тогда можно модель представить в следующем виде, аналогичном обычной линейной регрессии:

Ковариационная матрица вектора случайных ошибок такой модели будет иметь блочный вид, каждый из блоков которой равен . Это упрощённо можно записать через матрицу с помощью произведения Кронекера:

Методы оценки[править | править код]

Поскольку каждое уравнение по предположению удовлетворяет классическим предположениям, то можно применить обычный метод наименьших квадратов для оценки их параметров. Однако, такой подход не учитывает дополнительную информацию о корреляциях между уравнениями. Более эффективные оценки можно получить, если использовать обобщённый метод наименьших квадратов:

Однако, проблема применения обобщённого МНК, как известно, заключается в неизвестности ковариационной матрицы ошибок, в данном случае матрицы . Поэтому используется следующая двухшаговая процедура доступного обобщённого МНК (FGLS). На первом шаге применяется обычный МНК и находятся остатки уравнений. На основании этих остатков оценивается матрица  : и далее применяется обобщённый МНК. Теоретически процедуру можно продолжить итеративно используя вновь полученные остатки для повторной оценки ковариационной матрицы и применения обобщённого МНК.

Полученные таким образом оценки являются состоятельными и асимптотически нормальными. Очевидно, если матрица диагональна, то есть когда случайные ошибки разных уравнений не коррелируют между собой, то такие оценки совпадут с оценками обычного МНК. То же самое имеет место, когда все уравнения содержат один и тот же набор переменных, то есть .

Кроме указанных основных подходов возможно также применение метода максимального правдоподобия при предположении о нормальности распределения случайных ошибок.

См. также[править | править код]