Внешняя алгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Внешняя алгебра или алгебра Грассмана — алгебраическая система, применяемая для описания подпространств векторного пространства. Впервые введена Грассманом в 1844 г.

Внешняя алгебра над пространством V обычно обозначается \bigwedge V

Определение[править | править вики-текст]

Внешняя алгебра \bigwedge V векторного пространства \ V над полем \ K — ассоциативная алгебра над K, операция в которой обозначается знаком \wedge, а порождающими элементами являются 1, \mathbf{e_1, \dots ,e_n}, где \mathbf{e_1,\dots,e_n} — базис пространства \ V. Определяющие соотношения имеют вид

  • \mathbf e_i \wedge \mathbf e_j = -\mathbf e_j \wedge \mathbf e_i \,(i,j=1,\dots,n),\,\mathbf e_i\wedge \mathbf e_i=0;
  • \mathbf e_i\wedge 1=1\wedge \mathbf e_i = \mathbf e_i \,(i=1,\dots,n),\,1\wedge 1=1.

При этом внешняя алгебра не зависит от выбора базиса.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Операция \wedge называется внешним произведением.
  • Подпространство \wedge^r V (для r=0, 1, \dots, n) в \wedge V, порождённое элементами вида e_{i_1}\wedge...\wedge e_{i_r}, называется r-ой внешней степенью пространства V.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Имеют место равенства:
\operatorname{dim}\wedge V=2^n
\operatorname{dim}\wedge^r V=C^r_n, в частности
\wedge^r V=0 при r>n.
  • градуированная коммутативность: u\wedge v=(-1)^{rs}v\wedge u, если u\in\wedge^rV, v\in\wedge^sV.
  • Для произвольной 1-формы \omega \in \wedge^1 V её квадрат нулевой:
\omega \wedge \omega = 0

Следует отметить, что для форм порядка отличного от единицы это неверно.

  • Элементы пространства \wedge^r V называются r-векторами; их можно понимать также как кососимметрические r раз контравариантные тензоры над V, с операцией антисимметризированного (альтернированного) тензорного произведения, то есть композиция полной антисимметризации (альтернирования) по всем индексам с тензорным произведением.
    • В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор:
      (\bold a \wedge \bold b)_{ij} = a_i b_j - a_j b_i
    • Замечание: Нет единого стандарта в том, что значит «антисимметризация». Например, многие авторы предпочитают формулу
      (\bold a \wedge \bold b)_{ij} = (a_i b_j - a_j b_i)/2
  • Линейно независимые системы из r векторов x_1, \dots, x_r и y_1, \dots, y_r из V порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда r-векторы x_1\wedge \dots \wedge x_r и y_1\wedge \dots \wedge y_r пропорциональны.
  • Алгебра \wedge V имеет структуру градуированной алгебры:
\wedge V = K \oplus \bigoplus_{r=1}^{\infty} \wedge^r V

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.

См. также[править | править вики-текст]