Внутренность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Окрестность внутренней точки x принадлежит множеству

Вну́тренность множества в общей топологии — это совокупность всех внутренних точек. Обычно обозначается Int,[1] вероятно, от англ. Interior.[источник не указан 644 дня] Иногда внутренность множества называют ядром.[2]

Определение[править | править исходный текст]

Пусть дано топологическое пространство (X,\mathcal{T}), где X — произвольное множество, а \mathcal{T} — определённая на нём топология. Пусть также дано подмножество A \subset X. Тогда его внутренностью A^{0} называется совокупность всех внутренних точек A.

Свойства[править | править исходный текст]

A^0 = \bigcup\limits_{U \in \mathcal{T},U \subset A} U.
  • Внутренность A^0 — наибольшее открытое множество, содержащееся в A:
(U\in \mathcal{T}) \wedge (U\subset A) \Rightarrow (U \subset A^0).
  • Множество A открыто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей внутренностью:
(A \in \mathcal{T}) \Leftrightarrow \left(A = A^0\right).
\left(A^0\right)^0 = A^0.
(A \subset B) \Rightarrow \left( A^0 \subset B^0 \right).

Примеры[править | править исходный текст]

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]