Внутренняя точка множества

Вну́тренняя то́чка мно́жества в топологии есть точка, входящая в данное множество вместе с некоторой своей окрестностью.

Определение

Пусть $X$ — топологическое пространство, с топологией $T$, и $M \subseteq X$. Точка $x\in M$ является внутренней для $M$ тогда и только тогда, когда существует открытое множество $S\in T$, такое что $x\in S$ и $S\subseteq M$.

Замечания

• Из определения сразу следует, что в открытом множестве все точки внутренние.
• Также верно и обратное: множество, все точки которого внутренние, является открытым.

Частные случаи

В метрическом пространстве определение внутренней точки принимает следующий вид. Пусть $X$ — метрическое пространство с метрикой $d$, и $M$ — его подмножество. Точка $x\in M$ является внутренней для $M$ тогда и только тогда, когда существует $\varepsilon >0$, такое что $\forall y\in X,\, d(x,y)<\varepsilon\Rightarrow y\in M$. Иначе говоря, $x$ входит в $M$ вместе с шаром радиуса $\varepsilon$ с центром в $x$.

См. также

• Изолированная точка
• Открытое множество
• Предельная точка
• Словарь терминов общей топологии
• ε-окрестность