Возведение в степень

Возведение в степень — бинарная операция, происходящая из сокращения для множественного умножения числа на самого себя. Обозначение: $a^b$ называется степенью с основанием a и показателем b.

Натуральная степень

Число c называется n-й степенью числа a, если $c = \begin{matrix} \underbrace{ a \cdot a\cdot ... \cdot a } \\ n \end{matrix}$.

Свойства:

1. $\left(ab\right)^n = a^nb^n$
2. $\left({a\over b}\right)^n = {{a^n}\over{b^n}}$
3. $a^na^m = a^{n+m}\!$
4. $\left. {a^n\over {a^m}} \right. = a^{n-m},\quad n > m$
5. $\left(a^n\right)^m = a^{nm}$
6. запись $a^{n^m}$ не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть в общем случае левая ассоциативность не равна правой ассоциативности $(a^n)^m \ne a^\left({n^m}\right)$, результат будет зависеть от последовательности действий, например, $(2^2)^3=4^3=64\!$, а $2^\left({2^3}\right)=2^8=256$. Принято считать запись $a^{n^m}$ равнозначной $a^\left({n^m}\right)$, а вместо $(a^n)^m$ можно писать просто $a^{nm}$, пользуясь предыдущим свойством.
7. возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря, $a^b\ne b^a$, например, $2^5=32$, но $5^2=25$.

Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.

Целая степень

$a^z = \begin{cases} a^{z}, & \mbox{if }z>0 \\ 1, & \mbox{if }z=0, a \ne \; 0 \\ \frac{1}{a^{|z|}}, & \mbox{if }z<0, a \ne \; 0 \end{cases}$
$0^n,n \leqslant 0$ не определён

Рациональная степень

По определению, $a^{p\over q} = \sqrt[q]{a^p}, \quad p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}, a \geqslant 0\$

(результат не определен при $a=0$ и $p<0$)

См. корень степени q

Вещественная степень

Пусть $a\geqslant 0$.

В школе вещественную функцию вводят, используя тот факт, что между любыми двумя рациональными числами существует иррациональное, а между любыми двумя иррациональными — рациональное. Тогда $a^p < \;a^r< \;a^q$, где $p<q$, $|p-q|<\epsilon$, где $\epsilon$ — погрешность вычисления. Таким образом, для любого иррационального числа r подбираются два рациональных p и q с необходимой степенью точности и любое число между $a^p$ и $a^q$ принимается за ответ.

Другой подход основан на теории рядов и логарифмов. (см. определение комплексной степени)

Потенцирование

Потенцирование (от нем. potenzieren, возведение в степень) — это нахождение числа по известному значению его логарифма, то есть решение уравнения:

$\log_a~x = b$

Из определения логарифма вытекает, что $x = a^b$. Таким образом, потенцирование означает возведение основания логарифма в степень, равную значению логарифма. Например, если десятичный логарифм числа равен $L$, то искомое число равно $10^L$.

Термин «потенцирование» впервые встречается у швейцарского математика Иоганна Рана (1659).

Комплексная степень

Сначала покажем, как вычисляется экспонента $e^z$, где e — число Эйлера, z — произвольное комплексное число, $z=x+yi$.

$\,e^z = e^xe^{yi} = e^x(\cos y + i \sin y) = e^x\cos y + ie^x\sin y.$

Теперь рассмотрим общий случай $a^b$, где $a,b$ оба являются комплексными числами. Проще всего это сделать, представив a в экспоненциальной форме и используя тождество $a^b=e^{b\ \operatorname{Ln}(a)}$, где Ln — комплексный логарифм:

$\,a^b = (re^{{\theta}i})^b = (e^{\operatorname{Ln}(r) + {\theta}i})^b = e^{(\operatorname{Ln}(r) + {\theta}i)b}.$

Следует иметь в виду, что комплексный логарифм — многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно.

Степень как функция

Поскольку в выражении $x^y$ принимает участие две переменных, то его можно рассматривать как:

• функцию переменной x (при этом y — параметр). Такая функция называется степенной. Это — частный случай полиномиальной функции.
• функцию переменной y (при этом x — параметр). Такая функция называется показательной. Её частный случай — экспонента.
• функцию двух переменных.

Значок степени

Исторически степень, начиная с Декарта, обозначали «двухэтажной» записью вида $a^b$. Когда появились компьютеры и компьютерные программы, возникла проблема, состоящая в том, что в тексте компьютерных программ невозможно записать степень таким способом. В связи с этим изобрели особые значки для операции возведения в степень.

Первым таким значком были две звёздочки: **, используемые в языке Фортран. В появившемся несколько позже языке Алгол использовался значок стрелки: $\uparrow$ (о такой стрелке см. Стрелки Кну́та). Язык BASIC предложил символ ^ («циркумфлекс»), который приобрёл наибольшую популярность. Его теперь часто используют и при написании формул и математических выражений в текстовых файлах.

Примеры:

3^2=9;     5^2=25;     2^3=8;     5^3=125

Случается, что циркумфлекс используют и при написании сложных, громоздких математических выражений и формул на бумаге (особенно с громоздким показателем).

На компьютерной клавиатуре значок степени (циркумфлекс) находится на той же клавише, что и цифра 6. Для его ввода надо в режиме набора английского текста нажать Shift+6.

В случае нескольких степеней подряд, «многоэтажная» запись степени и запись её с помощью значка степени (значков потребуется несколько) имеют разную ассоциативность: В записи a^b^c^d^f (с помощью значка степени) ассоциативность левая, то есть возведения в степень выполняются в порядке очерёдности слева направо: ((((a^b)^c)^d)^f) — именно так вычисляет такое выражение (которое без скобок) программа Excel; в записи же $a^{b^{c^{d^f\!}\!}\!}\!$ (многоэтажный способ) ассоциативность правая, то есть возведения в степень выполняются в порядке справа налево: (a^(b^(c^(d^f)))).

См. также

• e (математическая константа)
• Логарифм — обратная к возведению в степень функция.
• Корень n-й степени — обратная к возведению в степень функция.
• Квадрат — возведение во вторую степень.
• Куб — возведение в третью степень.
• Тетрация — обобщение возведения в степень.
• Гипероператор
• Экспоненциальная запись
• Экспонента

Ссылки

• А. Б. Будак, Б. М. Щедрин «Элементарная математика» — Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ