Возведение в степень

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Число a^b называется степенью с основанием a и показателем b.

Содержание 1 Натуральная степень 2 Целая степень 3 Рациональная степень 4 Действительная степень 4.1 Потенцирование 5 Комплексная степень 6 Степень как функция 7 См. также 8 Ссылки

[править] Натуральная степень

Число с называется n-ной степенью числа а, если .

Свойства:

1. 
2. 
3. aⁿa^m = a^{n + m}
4. , n>m.
5. 

Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.

[править] Целая степень

не определён

[править] Рациональная степень

По определению,

См. корень степени q

[править] Действительная степень

Пусть .

В школе действительную функцию вводят, используя тот факт, что между любыми двумя рациональными числами существует иррациональное, а между любыми двумя иррациональными — рациональное. Тогда , где p < q, | p − q | < ε, где ε — погрешность вычисления. Таким образом, для любого иррационального числа r подбираются два рациональных p и q с необходимой степенью точности и любое число между a^p и a^q принимается за ответ.

Другой подход основан на теории рядов и логарифмов. (см. определение комплексной степени)

[править] Потенцирование

Потенцирование — это нахождение числа по известному значению его логарифма, то есть решение уравнения:

Из определения логарифма вытекает, что x = a^b. Таким образом, потенцирование означает возведение основания логарифма в степень, равную значению логарифма. Например, если десятичный логарифм числа равен L, то искомое число равно 10^L.

[править] Комплексная степень

Определим некоторые функции:

теперь для вычисления a^z можно использовать свойства степеней и логарифмов:

[править] Степень как функция

Поскольку в выражении x^y принимает участие две переменных, то его можно рассматривать как:

• функцию переменной x (при этом y — параметр). Такая функция называется степенной. Это — частный случай полиномиальной функции.
• функцию переменной y (при этом x — параметр). Такая функция называется показательной. Её частный случай — экспонента.
• функцию двух переменных.

[править] См. также

• e (математическая константа)
• Логарифм — обратная к возведению в степень функция.
• Корень n-й степени — обратная к возведению в степень функция.
• Квадрат — возведение во вторую степень.
• Куб — возведение в третью степень.
• Тетрация — обобщение возведения в степень.
• Гипероператор

[править] Ссылки

• А. Б. Будак, Б. М. Щедрин «Элементарная математика» — Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ