Возвратное уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Алгебраическое уравнение вида: a_{n}x^{n} + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... +a_{1}x + a_0 = 0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных относительно середины позициях, равны, то есть если a_{n - k} = a_k, при k = 0, 1, …, n. Иногда такие уравнения называют симметричными.

Уравнение четвёртой степени[править | править исходный текст]

Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида ~ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0, где a, b и c — некоторые числа, причём a \neq 0.

Алгоритм решения подобных уравнений:

  • разделить левую и правую части уравнения на x^2. При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения при a \neq 0;
  • группировкой привести полученное уравнение к виду a\left(x^2 + {1 \over x^2}\right) + b\left(x + {1 \over x}\right) + c =0 ;
  • ввести новую переменную t = {x + {1 \over x}}, тогда выполнено t^2 = {x^2 + 2 + {1 \over {x^2}}}, то есть {x^2 + {1 \over {x^2}}} = {t^2 - 2};
  • в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным: at^2 + bt + c - 2a = 0;
  • решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Модифицированное и обобщённое уравнения четвёртой степени[править | править исходный текст]

Модифицированное возвратное уравнение четвёртой степени ~ax^4 + bx^3 + cx^2 - bx + a = 0 может быть сведено к квадратному уравнению относительно переменной t, если ввести t=x-\frac{1}{x}.

Обобщённое возвратное уравнение четвёртой степени сводится к квадратному уравнению подстановкой t=bx+\frac{d}{x}. Среди всех уравнений четвёртой степени ~ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 эти уравнения выделяются тем, что для их коэффициентов справедливо соотношение:

\frac{e}{a}=\left(\frac{d}{b}\right)^2.

Уравнения степени пять и более[править | править исходный текст]

Для возвратных уравнений более высоких степеней верны следующие утверждения:

  • Возвратное уравнение чётной степени сводится к уравнению вдвое меньшей степени подстановкой

x + {1 \over x} = t.

  • Возвратное уравнение нечётной степени обязательно имеет корень x = −1 и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения, на двучлен x + 1, приводится к возвратному уравнению чётной степени.

См. также[править | править исходный текст]


Ссылки[править | править исходный текст]