Волновое уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Волновое уравнение в математике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика, преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твёрдых телах) и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики

Вид уравнения[править | править вики-текст]

В многомерном случае однородное волновое уравнение записывается в виде

\Delta u=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2},

где ~\Delta — оператор Лапласа, ~u=u(x,t) — неизвестная функция, ~t\in \mathbb R — время, ~x\in \mathbb R^n — пространственная переменная, ~v — фазовая скорость.

В одномерном случае уравнение называется также уравнением колебания струны или уравнением продольных колебаний стержня и записывается в виде

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}.

Оператор Д’Аламбера[править | править вики-текст]

Разность \Delta - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} называется оператором Д’Аламбера и обозначается как \square (разные источники используют разный знак). Таким образом, с использованием оператора Д’Аламбера (даламбертиана) однородное волновое уравнение записывается как:

\square u = 0

Неоднородное уравнение[править | править вики-текст]

Допустимо также рассматривать неоднородное волновое уравнение

\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=v^2\Delta u  + f,

где f = f(x,t) — некая заданная функция внешнего воздействия (внешней силы).

Стационарным вариантом волнового уравнения является уравнение Лапласа (уравнение Пуассона в неоднородном случае).

Задача нахождения нормальных колебаний системы, описываемой волновым уравнением, приводит к задаче на собственные значения для уравнения Лапласа, то есть к нахождению решений уравнения Гельмгольца, получающегося подстановкой

 u(x,t) = v(x) e^{i\omega t}\ или  u(x,t) = v(x)\, \mathop{\rm cos}\,(\omega t)\ .

Решение волнового уравнения[править | править вики-текст]

Существует аналитическое решение гиперболического уравнения в частных производных. В евклидовом пространстве произвольной размерности оно называется формулой Кирхгофа. Частные случаи: для колебания струны (\mathbb{R}^1) — формула Д’Аламбера, для колебания мембраны (\mathbb{R}^2) — формула Пуассона.

Формула Д'Аламбера[править | править вики-текст]

Решение одномерного волнового уравнения (здесь  v = a  — фазовая скорость)

u_{tt}=a^2 u_{xx} + f(x,t)\quad (функция f(x,t) соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

u(x,0)=\varphi(x),\quad u_t(x,0)=\psi(x)

имеет вид

u(x,t)=\frac{\varphi(x+at)+\varphi(x-at)}{2}+\frac{1}{2a}\int\limits^{x+at}_{x-at}{\psi(\alpha)d \alpha}+\frac{1}{2a}\int\limits^t_0\int\limits^{x+a(t-\tau)}_{x-a(t-\tau)} f(s, \tau)ds d\tau

Интересно заметить, что решение однородной задачи

u_{tt}=a^2 u_{xx},

имеющее следующий вид

u(x,t)=\frac{\varphi(x+at)+\varphi(x-at)}{2}+\frac{1}{2a}\int\limits^{x+at}_{x-at}{\psi(\alpha)d \alpha}

может быть представлено в виде

u(x,t)= f_1(x+at) + f_2(x-at)

где

 f_1(x)= \frac{\varphi(x)}{2} + \frac{1}{2a}\int\limits^{x}_{0}{\psi(\alpha)d \alpha}
 f_2(x)= \frac{\varphi(x)}{2} + \frac{1}{2a}\int\limits^{0}_{x}{\psi(\alpha)d \alpha}

В таком случае говорят, что решение представлено в виде суммы бегущих волн, а функции f_1(x) и f_2(x) — это профили волн, бегущих, соответственно, влево и вправо. В рассматриваемом случае профили волн со временем не изменяются.

В многомерном случае также решение задачи Коши может быть разложено в бегущие волны, однако уже не в сумму, а в интеграл, поскольку направлений становится бесконечно много. Это делается элементарно при помощи преобразования Фурье

Задача на полупрямой[править | править вики-текст]

Рассмотрим однородное уравнение колебаний на полупрямой [0; +\infty)

u_{tt} = a^2 u_{xx}

с закрепленным концом:

u(0,t) = 0

и начальными условиями

u(x,0)=\varphi(x),\qquad u_t(x,0)=\psi(x)

для того, чтобы задача имела решение, необходима согласованность начальных условий и граничного условия, а именно:

\varphi(0) = 0,\qquad \psi(0) = 0

Задача на полупрямой легко сводится к задаче на прямой после того, как мы антисимметрично продолжим начальные условия:

\varphi(-x)=\varphi(x),\qquad \psi(-x)=\psi(x) \qquad \forall x \in [0, +\infty)

В силу того, что начальные условия \varphi(x), \psi(x) — нечетные функции, логично ожидать, что и решение u(x,t) будет нечетной функцией. В этом можно непосредственно убедиться, рассмотрев решение в виде формулы Д’Аламбера. Поэтому полученное решение u(x, t) будет удовлетворять начальным условиям и граничному условию u(0,t) = 0 (последнее следует из нечетности функции).

Показанный прием широко используется (не только для волнового уравнения) и называется метод отражения. Например, можно рассмотреть волновое уравнение на полупрямой, но с граничным условием второго рода на конце x = 0:

u_x(0,t)=0.

Физически условие означает, что левый конец стержня (если рассматривать систему как продольные колебания стержня) свободен, то есть на него не действует никакая сила.

Методы решения в ограниченной одномерной области[править | править вики-текст]

Метод отражений[править | править вики-текст]

Рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке [0,a]

u_{tt}=a^2 u_{xx}

с однородными граничными условиями первого рода (то есть при закрепленных концах)

u(0,t)=0 \qquad u(a,t)=0

и начальными условиями

u(x,0)=\varphi(x),\quad u_t(x,0)=\psi(x) \qquad \forall x \in [0, a]

При помощи метода отражения задача может быть снова сведена к задаче на прямой. В данном случае потребуется бесконечное число отражений, в итоге продолженные начальные условия будут определяться таким образом:

\varphi(2na + x) = \varphi(x) \qquad \psi(2na + x) = \psi(x) \qquad \forall x \in [0,a] \quad \forall n \in Z
\varphi(2na - x) = - \varphi(x) \qquad \psi(2na - x) = -\psi(x) \qquad \forall x \in [0,a] \quad \forall n \in Z

При рассмотрении неоднородного волнового уравнения:

u_{tt}=a^2 u_{xx} + f(x,t)

используются ровно те же соображения, и функция f(x,t) продолжается таким же образом.

Метод Фурье[править | править вики-текст]

Снова рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке [0,a]

u_{tt}=a^2 u_{xx}

с однородными граничными условиями первого рода

u(0,t)=0 \qquad u(a,t)=0

и начальными условиями

u(x,0)=\varphi(x),\quad u_t(x,0)=\psi(x) \qquad \forall x \in [0, l]

Метод Фурье основывается на представлении решения в виде (бесконечной) линейной комбинации простых решений задачи вида

X(x)T(t), где обе функции зависит только от одной переменной.

Отсюда другое название метода — метод разделения переменных.

Нетрудно показать, что для того, чтобы функция u(x,t)=X(x)T(t) была решением уравнения колебаний, необходимо, чтобы выполнялись условия

X(0) = 0 \qquad X(l) = 0 согласование с граничными условиями
 a^2 X''(x) =  - \lambda X(x)
 T''(t) =  - \lambda T(t)

Решение спектральной задачи на X(x) приводит к ответу:

X_n(x) = \sin ( \frac{\pi n x}{l} ) \qquad n \in \mathbf{N}

и их собственным значениям \lambda_n = (\frac {\pi n a}{l})^2

Соответствующие им функции T выглядят как

T_n(t) = \alpha \sin ( \lambda_n t ) + \beta \cos ( \lambda_n t )

Таким образом, их линейная комбинация (при условии, что ряд сходится) является решением смешанной задачи

T_n(t) = \sum_{n=1}^{+\infty} X_n(x)T_n(t) 
= \sum_{n=1}^{+\infty}  \alpha_n \sin ( \lambda_n t ) + \beta_n \cos ( \lambda_n t )

Разложив функции \varphi(x), \psi(x) в ряд Фурье, можно получить коэффициенты \alpha_n, \beta_n , при которых решение будет обладать такими начальными условиями.

Метод учета волн[править | править вики-текст]

Импульс, отражающийся от закрепленных граничных концов, упругие колебания моделируются волновым уравнением

Снова рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке [0,a]

u_{tt}=a^2 u_{xx},

однако на сей раз положим однородные начальные условия

u(x,0) \equiv 0,\quad u_t(x,0) \equiv 0 \qquad \forall x \in [0, a]

и неоднородные граничные. Например, будем считать, что задана зависимость положения концов стержня от времени (граничное условие первого рода)

u(0,t)=\mu(t) \qquad u(a,t)=\nu(t)

Решение записывается в виде

u(x,t)= \sum_{k=0}^{+\infty} \biggl[ \mu(t - x - 2ka) -  \mu(t + x  - (2k+2)a) \biggr] + \sum_{k=0}^{+\infty} \biggl[  \nu(t + x - (2k+1)a) - \nu(t - x - (2k+1)a) \biggr]

В том, что оно удовлетворяет уравнению и начально-краевым условиям, можно убедиться непосредственно. Интересна интерпретация: каждое слагаемое в решении соответствует некоторому отражению одной из граничных волн. Например, левое граничное условие порождает волну вида

 \mu(t-x),

которая, добегая за время а до правого конца, отражается и дает вклад

 \mu(t+x-2a),

через время а снова отражается и дает вклад

 \mu(t-x-2a),

Этот процесс продолжается бесконечно долго, суммируя вклады всех волн и получаем указанное решение. Если нас интересует решение на промежутке [0,T], то мы можем ограничиться лишь первыми  \lceil T / a \rceil слагаемыми.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]