Волновое уравнение

Волновое уравнение в математике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика, преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твёрдых телах) и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики

Вид уравнения

В многомерном случае однородное волновое уравнение записывается в виде

$\Delta u=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}$,

где $~\Delta$ — оператор Лапласа, $~u=u(x,t)$ — неизвестная функция, $~t\in \mathbb R$ — время, $~x\in \mathbb R^n$ — пространственная переменная, $~v$ — фазовая скорость.

Вывод для трёхмерного случая.

Приведённые выкладки, конечно же, можно обобщить и на многомерные случаи. Итак.

Пусть дано уравнение плоской волны:

$A(\overrightarrow{r},t) = A_0 cos \left( \omega t - (\overrightarrow{k},\overrightarrow{r}) + \varphi_0 \right),$

где

• $A(x,t)$ — величина возмущения в данной точке пространства $x$ и времени $t$;
• $A_o$ — амплитуда волны;
• $\omega$ — круговая частота;
• $\overrightarrow{k}$ — волновой вектор, равный $\cfrac {k} {\overrightarrow{n}} \,$

где

• $k$ — волновое число;
• $\overrightarrow{n}$ — единичный вектор нормали, проведённый к волновому фронту

• $\overrightarrow{r} \left( x,y,z \right)$ — радиус-вектор точки с координатами $x,y$ и $z$;
• $(\overrightarrow{k},\overrightarrow{r})$ — скалярное произведение векторов $\overrightarrow{k}$ и $\overrightarrow{r}$. Здесь и далее скалярное произведение будет обозначаться таким образом;
• $\varphi_0$ — начальная фаза колебаний.

Продифференцируем его по $x \,$ по $y \,$ по $z$ и по $t .$ Получим четыре уравнения:

$\left \{ \begin{matrix} \cfrac {\partial^2 A(\overrightarrow{r},t)} {\partial t^2} = -\omega^2 A_0 cos \left( \omega t - (\overrightarrow{k},\overrightarrow{r}) + \varphi_0 \right) = - \omega^2 A(\overrightarrow{r},t) \qquad \left( 1 \right) \\ \cfrac {\partial^2 A(\overrightarrow{r},t)} {\partial x^2} = - k_x^2 A_0 cos \left( \omega t - (\overrightarrow{k},\overrightarrow{r}) + \varphi_0 \right) = - k_x^2 A(\overrightarrow{r},t) \qquad \left( 2 \right) \\\cfrac {\partial^2 A(\overrightarrow{r},t)} {\partial y^2} = -k_y^2 A_0 cos \left( \omega t - (\overrightarrow{k},\overrightarrow{r}) + \varphi_0 \right) = - k_y^2 A(\overrightarrow{r},t) \qquad \left( 3 \right) \\ \cfrac {\partial^2 A(\overrightarrow{r},t)} {\partial z^2} = - k_z^2 A_0 cos \left( \omega t - (\overrightarrow{k},\overrightarrow{r}) + \varphi_0 \right) = -k_z^2 A(\overrightarrow{r},t) \qquad \left( 4 \right) \end{matrix} \right.$

Сложим $\left( 2 \right), \left( 3 \right)$ и $\left( 4 \right):$

$\cfrac {\partial^2 A(\overrightarrow{r},t)} {\partial x^2} + \cfrac {\partial^2 A(\overrightarrow{r},t)} {\partial y^2} + \cfrac {\partial^2 A(\overrightarrow{r},t)} {\partial z^2} = -(k_x^2 + k_y^2 + k_z^2)A(\overrightarrow{r},t) = - \overrightarrow{k}^2 \cdot A(\overrightarrow{r},t)$

Из полученного уравнения и уравнения $\left( 1 \right) ,$ заменив $\cfrac {k^2} {\omega^2} = \cfrac {1} {v^2},$ получаем, что

$\cfrac {\partial^2 A(\overrightarrow{r},t)} {\partial x^2} + \cfrac {\partial^2 A(\overrightarrow{r},t)} {\partial y^2} + \cfrac {\partial^2 A(\overrightarrow{r},t)} {\partial z^2} = \cfrac {1} {v^2} \cdot \cfrac {\partial^2 A(\overrightarrow{r},t)} {\partial t^2} \Leftrightarrow \Delta A(\overrightarrow{r},t) = \cfrac {1} {v^2} \cdot \cfrac {\partial^2 A(\overrightarrow{r},t)} {\partial t^2}$

В одномерном случае уравнение называется также уравнением колебания струны или уравнением продольных колебаний стержня и записывается в виде

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}$.

Оператор Д’Аламбера

Разность $\Delta - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}$ называется оператором Д’Аламбера и обозначается как $\square$ (разные источники используют разный знак). Таким образом, с использованием оператора Д'Аламбера (даламбертиана) однородное волновое уравнение записывается как:

$\square u = 0$

Неоднородное уравнение

Допустимо также рассматривать неоднородное волновое уравнение

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=v^2\Delta u + f$,

где $f = f(x,t)$ — некая заданная функция внешнего воздействия (внешней силы).

Стационарным вариантом волнового уравнения является уравнение Лапласа (уравнение Пуассона в неоднородном случае).

Задача нахождения нормальных колебаний системы, описываемой волновым уравнением, приводит к задаче на собственные значения для уравнения Лапласа, то есть к нахождению решений уравнения Гельмгольца, получающегося подстановкой

$u(x,t) = v(x) e^{i\omega t}\$ или $u(x,t) = v(x)\, \mathop{\rm cos}\,(\omega t)\$.

Решение волнового уравнения

Существует аналитическое решение гиперболического уравнения в частных производных. В евклидовом пространстве произвольной размерности оно называется формулой Кирхгофа. Частные случаи: для колебания струны ($\mathbb{R}^1$) — формула Д’Аламбера, для колебания мембраны ($\mathbb{R}^2$) — формула Пуассона.

Формула Д'Аламбера

Решение одномерного волнового уравнения (здесь $v = a$ — фазовая скорость)

$u_{tt}=a^2 u_{xx} + f(x,t)\quad$ (функция $f(x,t)$ соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

$u(x,0)=\varphi(x),\quad u_t(x,0)=\psi(x)$

имеет вид

$u(x,t)=\frac{\varphi(x+at)+\varphi(x-at)}{2}+\frac{1}{2a}\int\limits^{x+at}_{x-at}{\psi(\alpha)d \alpha}+\frac{1}{2a}\int\limits^t_0\int\limits^{x+a(t-\tau)}_{x-a(t-\tau)} f(s, \tau)ds d\tau$

Интересно заметить, что решение однородной задачи

$u_{tt}=a^2 u_{xx}$,

имеющее следующий вид

$u(x,t)=\frac{\varphi(x+at)+\varphi(x-at)}{2}+\frac{1}{2a}\int\limits^{x+at}_{x-at}{\psi(\alpha)d \alpha}$

может быть представлено в виде

$u(x,t)= f_1(x+at) + f_2(x-at)$

где

$f_1(x)= \frac{\varphi(x)}{2} + \frac{1}{2a}\int\limits^{x}_{0}{\psi(\alpha)d \alpha}$

$f_2(x)= \frac{\varphi(x)}{2} + \frac{1}{2a}\int\limits^{0}_{x}{\psi(\alpha)d \alpha}$

В таком случае говорят, что решение представлено в виде суммы бегущих волн, а функции $f_1(x)$ и $f_2(x)$ - это профили волн, бегущих, соответственно, влево и вправо. В рассматриваемом случае профили волн со временем не изменяются.

В многомерном случае также решение задачи Коши может быть разложено в бегущие волны, однако уже не в сумму, а в интеграл, поскольку направлений становится бесконечно много. Это делается элементарно при помощи преобразования Фурье

Задача на полупрямой

Рассмотрим однородное уравнение колебаний на полупрямой $[0; +\infty)$

$u_{tt} = a^2 u_{xx}$

с закрепленным концом:

$u(0,t) = 0$

и начальными условиями

$u(x,0)=\varphi(x),\qquad u_t(x,0)=\psi(x)$

для того, чтобы задача имела решение, необходима согласованность начальных условий и граничного условия, а именно:

$\varphi(0) = 0,\qquad \psi(0) = 0$

Задача на полупрямой легко сводится к задаче на прямой после того, как мы антисимметрично продолжим начальные условия:

$\varphi(-x)=\varphi(x),\qquad \psi(-x)=\psi(x) \qquad \forall x \in [0, +\infty)$

В силу того, что начальные условия $\varphi(x), \psi(x)$ — нечетные функции, логично ожидать, что и решение $u(x,t)$ будет нечетной функцией. В этом можно непосредственно убедиться, рассмотрев решение в виде формулы Д’Аламбера. Поэтому полученное решение u(x, t) будет удовлетворять начальным условиям и граничному условию $u(0,t) = 0$ (последнее следует из нечетности функции).

Показанный прием широко используется (не только для волнового уравнения) и называется метод отражения. Например, можно рассмотреть волновое уравнение на полупрямой, но с граничным условием второго рода на конце $x = 0$:

$u_x(0,t)=0$.

Физически условие означает, что левый конец стержня (если рассматривать систему как продольные колебания стержня) свободен, то есть на него не действует никакая сила.

Методы решения в ограниченной одномерной области

Метод отражений

Рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке $[0,a]$

$u_{tt}=a^2 u_{xx}$

с однородными граничными условиями первого рода (то есть при закрепленных концах)

$u(0,t)=0 \qquad u(a,t)=0$

и начальными условиями

$u(x,0)=\varphi(x),\quad u_t(x,0)=\psi(x) \qquad \forall x \in [0, a]$

При помощи метода отражения задача может быть снова сведена к задаче на прямой. В данном случае потребуется бесконечное число отражений, в итоге продолженные начальные условия будут определяться таким образом:

$\varphi(2na + x) = \varphi(x) \qquad \psi(2na + x) = \psi(x) \qquad \forall x \in [0,a] \quad \forall n \in Z$

$\varphi(2na - x) = - \varphi(x) \qquad \psi(2na - x) = -\psi(x) \qquad \forall x \in [0,a] \quad \forall n \in Z$

При рассмотрении неоднородного волнового уравнения:

$u_{tt}=a^2 u_{xx} + f(x,t)$

используются ровно те же соображения, и функция $f(x,t)$ продолжается таким же образом.

Метод Фурье

Снова рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке $[0,a]$

$u_{tt}=a^2 u_{xx}$

с однородными граничными условиями первого рода

$u(0,t)=0 \qquad u(a,t)=0$

и начальными условиями

$u(x,0)=\varphi(x),\quad u_t(x,0)=\psi(x) \qquad \forall x \in [0, l]$

Метод Фурье основывается на представлении решения в виде (бесконечной) линейной комбинации простых решений задачи вида

$X(x)T(t)$, где обе функции зависит только от одной переменной.

Отсюда другое название метода — метод разделения переменных.

Нетрудно показать, что для того, чтобы функция $u(x,t)=X(x)T(t)$ была решением уравнения колебаний, необходимо, чтобы выполнялись условия

$X(0) = 0 \qquad X(l) = 0$ согласование с граничными условиями

$a^2 X''(x) = - \lambda X(x)$

$T''(t) = - \lambda T(t)$

Решение спектральной задачи на X(x) приводит к ответу:

$X_n(x) = \sin ( \frac{\pi n x}{l} ) \qquad n \in \mathbf{N}$

и их собственным значениям $\lambda_n = (\frac {\pi n a}{l})^2$

Соответствующие им функции T выглядят как

$T_n(t) = \alpha \sin ( \lambda_n t ) + \beta \cos ( \lambda_n t )$

Таким образом, их линейная комбинация (при условии, что ряд сходится) является решением смешанной задачи

$T_n(t) = \sum_{n=1}^{+\infty} X_n(x)T_n(t) = \sum_{n=1}^{+\infty} \alpha_n \sin ( \lambda_n t ) + \beta_n \cos ( \lambda_n t )$

Разложив функции $\varphi(x), \psi(x)$ в ряд Фурье, можно получить коэффициенты $\alpha_n, \beta_n$, при которых решение будет обладать такими начальными условиями.

См. также

• Спор о струне
• Уравнение Гельмгольца
• Уравнение Лапласа
• Уравнение Клейна — Гордона — Фока
• Волновое уравнение в случайно неоднородной среде
• Формула Кирхгофа
• Специальная теория относительности

Ссылки

• Волновое уравнение — статья из Большой советской энциклопедии
• Самарский А.А. Уравнения математической физики: Учебное пособие.. — 6-е изд., испр. и доп.. — М.: Изд-во МГУ, 1999. — 798 с. — ISBN 5-211-04138-0