Вполне упорядоченное множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Вполне упорядоченное множество — линейно упорядоченное множество M такое, что в любом его непустом подмножестве есть наименьший элемент, другими словами, это фундированное множество с линейным порядком. Иными словами, это такое множество, элементы которого можно упорядочить, используя при этом знак < или >, но не знак равенства.

Множества типа {"первый элемент" < "следующий элемент" < ... < "последний элемент"} или {"первый элемент" > "следующий элемент" > ... > "последний элемент"} являются вполне упорядоченными, причем множества не обязательно должны быть конечными.

Конкретный пример: {2 < 3 < 5 < 6} = {2, 3, 5, 6}, {10 > 3 > 2 > 1} = {10, 3, 2, 1}

Те множества, для упорядочивания которых обойтись только одним знаком < или > нельзя, а требуется еще и знак =, называются частично упорядоченные(или в общем случае <= или >=).

Множества типа {"первый элемент" <= "следующий элемент" <= ... <= "последний элемент"} или {"первый элемент" >= "следующий элемент" >= ... >= "последний элемент"} являются частично упорядоченными, множества не обязательно должны быть конечными.

Конкретный пример критерия упорядочивания - воинское звание {солдат Петров <= солдат Иванов <= сержант Сидоров <= лейтенант Смирнов <= лейтенант Щеглов} = {солдат Петров = солдат Иванов < сержант Сидоров < лейтенант Смирнов = лейтенант Щеглов} = {солдат Петров, солдат Иванов, старший солдат Сидоров, лейтенант Смирнов, лейтенант Щеглов}. Из-за того, что во множестве присутствуют одинаковые по званию военные, приходится использовать знак равенства, множество является только частично упорядоченным.

Примеры[править | править исходный текст]

  • Пустое множество является вполне упорядоченным.
  • Простейший пример бесконечного вполне упорядоченного множества — множество натуральных чисел с естественным упорядочением.
  • Простейшим примером несчётного вполне упорядоченного множества является совокупность всех счётных порядковых чисел, упорядоченных отношением \in. В предположении континуум-гипотезы, его мощность равна мощности континуума.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Утверждение о том, что каждое множество можно вполне упорядочить, равносильно аксиоме выбора.
  • Если X и Y — два вполне упорядоченных множества, то либо они изоморфны друг другу, либо ровно одно из них изоморфно начальному отрезку другого.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]