Вронскиан

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Вронскиа́н (определитель Вронского) системы функций f_1(x),\ldots f_n(x), дифференцируемых на промежутке I (n-1)-раз — функция на I, задаваемая определителем следующей матрицы:


W(f_1,\dots f_n)(x) = \begin{pmatrix} f_1(x) & f_2(x) &\cdots & f_n(x) \\
f'_1(x) & f'_2(x) & \cdots & f'_n(x) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_1^{(n-1)}(x) & f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x) 
\end{pmatrix};\qquad x\in I,
.

Также вронскианом называют функцию, заданную определителем более общего вида. А именно, пусть задано n вектор-функций f_1(x), \ldots , f_n(x) с n компонентами: f_i=(f_i^1, \ldots ,f_i^n). Тогда определитель будет выглядеть так (чтобы избежать разночтений обозначим его W_2):


W_2(f_1,\dots f_n)(x) = \det\begin{pmatrix} f_1^1(x) & f_2^1(x) &\cdots & f_n^1(x) \\
f_1^2(x) & f_2^2(x) & \cdots & f_n^2(x) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_1^n(x) & f_2^n(x) & \cdots & f_n^n(x) 
\end{pmatrix};\qquad x\in I,
.

Определитель Вронского применяется для решения дифференциальных уравнений, например для того, чтобы узнать, являются ли найденные решения однородного линейного дифференциального уравнения (либо системы уравнений) линейно независимыми. Это помогает в поиске его общего решения.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Если f_1(x), \ldots , f_n(x) — линейно зависимы на I, то W(x)=0,\forall x\in I.
  • Если определитель Вронского на интервале не равен нулю хотя бы в одной точке, то функции f_1(x), \ldots , f_n(x) являются линейно независимыми (прямое следствие предыдущего свойства). Обратное вообще говоря неверно (см. пример 3), но для случая, когда функции являются решениями дифференциального уравнения будут верны более сильные следствия (см. ниже).
  • Если f_1(x), \ldots , f_n(x) - решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка, то W(f_1, \ldots ,f_n) называется вронскианом этого уравнения. Определитель Вронского однородного дифференциального уравнения либо тождественно равен нулю, и это означает, что f_1(x), \ldots , f_n(x) линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке I, что означает линейную независимость функций f_1(x), \ldots , f_n(x).


  • W'(x) = W_1(x) + W_2(x) + \cdots + W_n(x) - где W_i — определитель Вронского, в котором строка с номером i заменена строкой производных:


W_i(x) = \det\begin{pmatrix}
f_{11}(x) & f_{12}(x) &\cdots & f_{1n}(x) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_{i1}'(x) & f_{i2}'(x) & \cdots & f_{in}'(x) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_{n1}(x) & f_{n2}(x) & \cdots & f_{nn}(x) 
\end{pmatrix}

Примеры[править | править исходный текст]

  • Убедимся, что вронскиан линейно-зависимых функций 1, x^2, 3+2x^2 равен нулю:

W(f_1,f_2,f_3)(x) = 
\begin{vmatrix}
1 & x^2 & 3+2x^2 \\
0 & 2x & 4x \\
0 & 2 & 4
\end{vmatrix}
= 8x-8x = 0,\qquad x\in\mathbb R.
  • Проверим теперь линейную независимость функций 1,x,x^3

W(f_1,f_2,f_3)(x) = 
\begin{vmatrix}
1 & x & x^3\\
0 & 1 & 3x^2 \\
0 & 0 & 6x
\end{vmatrix}
= 6x, \qquad x\in\mathbb R.

Есть точки, где вронскиан отличен от нуля (в нашем случае это любая точка, кроме x=0). Поэтому на любом промежутке эти функции будут линейно независимыми.

  • Приведём теперь пример, когда вронскиан всюду равен нулю, но функции всё равно линейно независимы. Зададим две функции:
f_1(x)=x^2;\qquad f_2(x) =
\begin{cases}
-x^2, &  x < 0, \\
x^2, &  x \geqslant 0.
\end{cases}

Обе функции всюду дифференцируемы (в том числе в нуле, где производные обеих функций обращаются в ноль). Убедимся, что вронскиан всюду ноль.


W(f_1,f_2)(x) = 
\begin{cases}
  \begin{vmatrix}
  x^2 & -x^2 \\
  2x & -2x
  \end{vmatrix}
 = 0, &  \; x < 0, \\[15pt]
  \begin{vmatrix}
  x^2 & x^2 \\
  2x & 2x
  \end{vmatrix}
 = 0, &  \; x \ge 0
\end{cases}

Однако эти функции, очевидно, являются линейно независимыми. Видим, что равенство вронскиана нулю не влечёт за собой линейной зависимости в случае произвольного выбора функций.

См. также[править | править исходный текст]

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «вронскиан»

Литература[править | править исходный текст]

Романко В.К. Главы 5 и 6 // Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — 2-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. — С. 158-164, 174-177. — (Технический университет). — 3000 экз. — ISBN 5-93208-097-3