Выборочная функция распределения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Выборочная (эмпири́ческая) фу́нкция распределе́ния в математической статистике - это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть X_1,\ldots, X_n,\ldots - выборка из распределения случайной величины ~X, задаваемой функцией распределения ~F(x). Будем считать, что ~X_i, где i\in \mathbb{N}, - независимые случайные величины, определённые на некотором пространстве элементарных исходов \Omega. Пусть x \in \mathbb{R}. Определим случайную величину \hat{F}(x):\Omega \to \mathbb{R} следующим образом:

\hat{F}(x) = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n \mathbf{1}_{\{X_i \le x\}} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n H(x-X_i),

где \mathbf{1}_A - индикатор события ~A, ~H(x) - функция Хевисайда. Таким образом, выборочная функция распределения в точке ~x равна относительной частоте элементов выборки, не превосходящих значение ~x. Случайная величина \hat{F}(x) называется выборочной функцией распределения случайной величины ~X и является аппроксимацией для функции ~F(x). Существует результат, показывающий, что при n \to \infty функция \hat{F}(x) равномерно сходится к ~F(x), и указывающий скорость сходимости.

Основные свойства[править | править вики-текст]

p(x_i) = N_{x_i}, \; i = 1,\ldots, n,

где x_i = X_i(\omega), а N_{x} = \sum\limits_{j=1}^n \mathbf{1}_{\{x = x_j\}} - количество элементов выборки, равных x. В частности, если все элементы выборки различны, то N_{x_i} = 1,\; \forall i.

\sum\limits_{i=1}^n x_i N_{x_i} = \bar{X}(\omega).

Таким образом выборочное среднее - это теоретическое среднее выборочного распределения.

n \hat{F}(x) \sim \mathrm{Bin}(n,F(x)).
\mathbb{E}\left[\hat{F}(x)\right] = F(x).
  • Дисперсия выборочной функции распределения имеет вид:
\mathrm{D}\left[\hat{F}(x)\right] = \frac{F(x)(1-F(x))}{n}.
\hat{F}(x) \to F(x) почти наверное при n \to \infty.
\sqrt{n}\left(\hat{F}(x) - F(x)\right) \to \mathrm{N}\left(0,F(x)(1-F(x))\right) по распределению при n \to \infty.

См.также[править | править вики-текст]