Выпуклое множество

Выпуклое множество.

Невыпуклое множество.

Множество в аффинном или векторном пространстве называется выпуклым, если оно содержит вместе с любыми двумя точками соединяющий их отрезок.

Определения

Пусть $A$ — аффинное или векторное пространство над полем вещественных чисел $\mathbb{R}$.

Множество $K\subset A$ называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками $x,\;y\in K$ множеству $K$ принадлежат все точки отрезка $xy$, соединяющего в пространстве $A$ точки $x$ и $y$. Этот отрезок можно представить как

$\bigcup\limits_{t\in[0;\;1]}\{x+t\cdot\overrightarrow{xy}\}.$

Связанные определения

Множество $K$ векторного пространства $V$ называется абсолютно выпуклым, если оно выпукло и уравновешенно.

Примеры

• Выпуклые подмножества множества $\R$ (множество вещественных чисел) представляют собой интервалы из $\R$.
• Примерами выпуклых подмножеств в двумерном Евклидовом пространстве ($\R^2$) являются правильные многоугольники.
• Примерами выпуклых подмножеств в трехмерном Евклидовом пространстве ($\R^3$) являются Архимедовы тела и правильные многогранники.
• Тела Кепплера — Пуансо (правильные звездообразные многогранники) являются примерами невыпуклых множеств.

Свойства

• Выпуклое множество в топологическом линейном пространстве является связным и линейно связным, гомотопически эквивалентным точке.
• В терминах связности, выпуклое множество можно определить так: множество выпукло, если его пересечение с любой (вещественной) прямой связно.
• Пусть $K$ — выпуклое множество. Тогда для любых элементов $u_1,\;u_2,\;\ldots,\;u_r$ принадлежащих $K$ и для всех неотрицательных $\lambda_1,\;\lambda_2,\;\ldots,\;\lambda_r$, таких что $\lambda_1+\lambda_2+\ldots+\lambda_r=1$, вектор

  $w=\sum_{k=1}^r\lambda_k u_k$

принадлежит $K$.

• Вектор $w$ называется выпуклой комбинацией элементов $u_1,\;u_2,\;\ldots,\;u_r$.

• Пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством, таким образом выпуклые подмножества образуют полную сетку. Это так же означает и то, что любое подмножество $A$ линейного пространства содержится внутри малого выпуклого множества (называемого выпуклой оболочкой множества $A$), то есть пересечение всех выпуклых множеств содержит $A$.
• Замкнутые выпуклые множества могут быть определены как пересечения замкнутых полупространств (множества точек в пространстве, которые лежат только на одной части гиперплоскости). Из выше сказанного становится понятным, что такие пересечения являются выпуклыми и замкнутыми множествами. Для доказательства обратного, то есть что каждое выпуклое множество может быть представлено в виде пересечения, можно использовать теорему об опорной гиперплоскости в форме в которой для данного замкнутого выпуклого множества $C$ и точки $P$, не принадлежащей ему, существует замкнутое полупространство $H$, содержащее $C$ и не содержащее $P$. Теорема об опорной гиперплоскости является частным случаем теоремы Хана — Банаха из функционального анализа.
• Теорема Хелли: Предположим в конечном семействе выпуклых подмножеств $\R^d$, пересечение любых $d+1$ из них непусто. Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто.
• Любое выпуклое множество единичной площади в $\R^2$ можно целиком заключить в некоторый треугольник площади 2.

Вариации и обобщения

• Без каких-либо изменений определение работает для аффинных пространств над произвольным расширением поля вещественных чисел.

См. также

• Звёздная область
• Выпуклая функция
• Лемма Шепли — Фолкмана

Литература

• Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.
• Тиморин В. А. Комбинаторика выпуклых многогранников. — М.: МЦНМО, 2002. — 16 с. — ISBN 5-94057-024-0.