Выпуклое множество
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Множество называется выпуклым, если оно содержит вместе с любыми двумя точками соединяющий их отрезок.
Содержание |
[править] Определения
Пусть A — афинное пространство (над полем вещественных чисел 
или его расширением).
Множество 
называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками 
множеству K принадлежат все точки отрезка xy, соединяющего в пространстве A точки x и y. Этот отрезок можно представить как
![\bigcup\limits_{t\in[0;\;1]}\{x+t\cdot\overrightarrow{xy}\}.](http://upload.wikimedia.org/math/a/4/6/a46dab41fe135ef6c773b9274b188a46.png)
[править] Связанные определения
Геометрическая фигура M называется выпуклой, если для любых двух точек этой фигуры отрезок, их соединяющий, целиком принадлежит фигуре.
Множество K линейного пространства L называется абсолютно выпуклым, если оно выпукло и уравновешенно.
[править] Примеры
- Выпуклые подмножества множества
(множество вещественных чисел) представляют собой интервалы из . - Примерами выпуклых подмножеств в двумерном Евклидовом пространстве (
) являются правильные многоугольники. - Примерами выпуклых подмножеств в трехмерном Евклидовом пространстве (
) являются Архимедовы тела и правильные многогранники. - Тела Кепплера — Пуансо (правильные звездообразные многогранники) являются примерами невыпуклых множеств.
[править] Свойства
- Выпуклое множество в топологическом линейном пространстве является связным и линейно связным, гомотопически эквивалентным точке.
- В терминах связности, выпуклое множество можно определить так: множество выпукло, если его пересечение с любой (вещественной) прямой связно.
- Пусть K — выпуклое множество. Тогда для любых элементов
принадлежащих K и для всех неотрицательных s 
, таких что 
, вектор
принадлежит S.
-
- Вектор такого вида называется выпуклой комбинацией элементов .
- Вектор такого вида называется выпуклой комбинацией элементов
- Пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством, таким образом выпуклые подмножества образуют полную сетку. Это так же означает и то, что любое подмножество A линейного пространства содержится внутри малого выпуклого множества (называемого выпуклой оболочкой множества A), то есть пересечение всех выпуклых множеств содержит A.
- Замкнутые выпуклые множества могут быть определены как пересечения замкнутых полупространств (множества точек в пространстве, которые лежат только на одной части гиперплоскости). Из выше сказанного становится понятным, что такие пересечения являются выпуклыми и замкнутыми множествами. Для доказательства обратного, то есть что каждое выпуклое множество может быть представлено в виде пересечения, можно использовать теорему об опорной гиперплоскости в форме в которой для данного замкнутого выпуклого множества C и точки P, не принадлежащей ему, существует замкнутое полупространство H, содержащее C и не содержащее P. Теорема об опорной гиперплоскости является частным случаем теоремы Хана — Банаха из функционального анализа.
- Теорема Хелли: Предположим в конечном семействе выпуклых подмножеств
, пересечение любых d + 1 из них непусто. Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто.
[править] См. также
[править] Литература
- Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.
- Тиморин В. А. Комбинаторика выпуклых многогранников. — М.: МЦНМО, 2002. — 16 с. — ISBN 5-94057-024-0.
