Выпуклое множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Выпуклое множество.
Невыпуклое множество.

Множество в аффинном или векторном пространстве называется выпуклым, если оно содержит вместе с любыми двумя точками соединяющий их отрезок.

Определения[править | править исходный текст]

Пусть A — аффинное или векторное пространство над полем вещественных чисел \mathbb{R}.

Множество K\subset A называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками x,\;y\in K множеству K принадлежат все точки отрезка xy, соединяющего в пространстве A точки x и y. Этот отрезок можно представить как

\bigcup\limits_{t\in[0;\;1]}\{x+t\cdot\overrightarrow{xy}\}.

Связанные определения[править | править исходный текст]

Множество K векторного пространства V называется абсолютно выпуклым, если оно выпукло и уравновешенно.

Примеры[править | править исходный текст]

Свойства[править | править исходный текст]

  • Выпуклое множество в топологическом линейном пространстве является связным и линейно связным, гомотопически эквивалентным точке.
  • В терминах связности, выпуклое множество можно определить так: множество выпукло, если его пересечение с любой (вещественной) прямой связно.
  • Пусть K — выпуклое множество в линейном пространстве. Тогда для любых элементов u_1,\;u_2,\;\ldots,\;u_r принадлежащих K и для всех неотрицательных \lambda_1,\;\lambda_2,\;\ldots,\;\lambda_r , таких что \lambda_1+\lambda_2+\ldots+\lambda_r=1, вектор
    w=\sum_{k=1}^r\lambda_k u_k
принадлежит K.
  • Пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством, таким образом выпуклые подмножества образуют полную сетку. Это так же означает и то, что любое подмножество A линейного пространства содержится внутри малого выпуклого множества (называемого выпуклой оболочкой множества A), то есть пересечение всех выпуклых множеств содержит A.
  • Замкнутые выпуклые множества могут быть определены как пересечения замкнутых полупространств (множества точек в пространстве, которые лежат только на одной части гиперплоскости). Из выше сказанного становится понятным, что такие пересечения являются выпуклыми и замкнутыми множествами. Для доказательства обратного, то есть что каждое выпуклое множество может быть представлено в виде пересечения, можно использовать теорему об опорной гиперплоскости в форме в которой для данного замкнутого выпуклого множества C и точки P, не принадлежащей ему, существует замкнутое полупространство H, содержащее C и не содержащее P. Теорема об опорной гиперплоскости является частным случаем теоремы Хана — Банаха из функционального анализа.
  • Теорема Хелли: Предположим в конечном семействе выпуклых подмножеств \R^d, пересечение любых d+1 из них непусто. Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто.
  • Любое выпуклое множество единичной площади в \R^2 можно целиком заключить в некоторый треугольник площади 2.[1]

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]

  1. Weisstein, Eric W. Triangle Circumscribing (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.