Выпуклый анализ

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Выпуклый анализ - раздел математики, занимающий промежуточное положение между анализом и геометрией, в котором изучаются выпуклые функции, выпуклые функционалы и выпуклые множества.

История[править | править вики-текст]

Основания выпуклого анализа были заложены Г. Минковским, создавшим выпуклую геометрию, то есть геометрию выпуклых множеств в конечномерном пространстве. Многие понятия и концепции выпуклой геометрии нашли свое завершение в функциональном анализе. С работы В. Фенхеля начался новый этап выпуклого анализа, на котором детально исследовались свойства выпуклых функционалов. Формирование выпуклого анализа как самостоятельного раздела относится к 50 -60-м гг. 20 в. Понятия и методы выпуклого анализа широко применяются в разных областях математики - в теории экстремальных задач, особенно - в выпуклом программировании и классическом вариационном исчислении, в математической физике, теории целых функций, математической статистике и т. д.

Область исследования[править | править вики-текст]

Основными понятиями в выпуклом анализе являются понятия поляры, субдифференциала и сопряженной функции. Теоремы выпуклого анализа связывают операции сопряжения, перехода к поляре и взятия субдифференциала с алгебраическими, теоретико-множественными и порядковыми операциями над выпуклыми множествами и функциями. Исследуются также всевозможные двойственные отношения между множествами и их полярами, функциями и сопряженными к ним множествами и выпуклыми однородными функциями и т. п.

Литература[править | править вики-текст]

  • Minkowski G., Geometrie der Zahlen, В.- Lpz., 1910
  • Fenсhel W., Can. J. Math., 1949, v. 1, p. 73-77
  • Pокафeллар Р. Т., Выпуклый анализ, пер. с англ., М., 1973. В. М. Тихомиров
  • Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
  • Половинки Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — 2-е изд. испр. и доп.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 440 с. — 1500 экз. — ISBN 978-5-9221-0896-6

См. также[править | править вики-текст]