Гамма-распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Гамма-распределение
Плотность вероятности
Плотности гамма-распределений
Функция распределения
Функции гамма-распределений
Обозначение \Gamma(k, \theta), Ga(k, \theta)
Параметры k > 0,\,\theta > 0\, - коэффициент масштаба
Носитель x \in [0; \infty)\!
Плотность вероятности x^{k-1} \frac{e^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^k}
Функция распределения \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}
Математическое ожидание k \theta\,
Медиана
Мода (k-1) \theta\,, когда k \geq 1\,
Дисперсия k \theta^2\,
Коэффициент асимметрии \frac{2}{\sqrt{k}}
Коэффициент эксцесса \frac{6}{k}
Информационная энтропия k\theta+(1-k)\ln(\theta)+\ln(\Gamma(k))\,
+(1-k)\psi(k)\,
Производящая функция моментов (1 - \theta\,t)^{-k}, когда t < 1/\theta
Характеристическая функция (1 - \theta\,i\,t)^{-k}

Га́мма-распределе́ние в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если параметр k принимает целое значение, то такое гамма-распределение также называется распределе́нием Эрла́нга.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть распределение случайной величины X задаётся плотностью вероятности, имеющей вид

 f_X(x) = \left\{
\begin{matrix}
x^{k-1} \frac{e^{-x/\theta}}{\theta^k \, \Gamma(k)}, & x \ge 0 \\
0, & x < 0
\end{matrix}
\right., где \Gamma (k)гамма-функция Эйлера.

Тогда говорят, что случайная величина X имеет гамма-распределение с параметрами \theta и k. Пишут X \thicksim \Gamma(\theta,k).

Замечание. Иногда используют другую параметризацию семейства гамма-распределений. Или вводят третий параметр — сдвиг.

Моменты[править | править вики-текст]

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, имеющей гамма-распределение, имеют вид

\mathbb{E}[X] = k\theta,
\mathbb{D}[X] = k\theta^2.

Свойства гамма-распределения[править | править вики-текст]

 Y = \sum\limits_{i=1}^n X_i \sim \Gamma\left( \theta, \sum_{i=1}^n k_i \right).
  • Если  X \thicksim \Gamma(\theta,k), и a > 0 — произвольная константа, то
 aX \thicksim \Gamma(a \theta, k).

Связь с другими распределениями[править | править вики-текст]

\Gamma(1/\theta, 1) \equiv \mathrm{Exp}(\theta).
  • Если X_1,\ldots,X_k — независимые экспоненциальные случайные величины, такие что X_i \sim \mathrm{Exp}(\theta),\; i = 1,\ldots, k, то
Y = \sum\limits_{i=1}^k X_i \sim \Gamma(1/\theta, k ).
\Gamma\left(2,\frac{n}{2}\right) \equiv \chi^2(n).
\Gamma(\theta, k) \approx \mathrm{N}(k\theta, k\theta^2) при k \to \infty.
  • Если X_1,X_2 — независимые случайные величины, такие что X_i \sim \Gamma(1,k_i),\; i=1,2, то
\frac{X_1}{X_1+X_2} \sim \mathrm{\Beta}(k_1,k_2).

Моделирование гамма-величин[править | править вики-текст]

Учитывая свойство масштабирования по параметру θ, указанное выше, достаточно смоделировать гамма-величину для θ = 1. Переход к другим значениям параметра осуществляется простым умножением.

Используя тот факт, что распределение \Gamma (1, 1) совпадает с экспоненциальным распределением, получаем, что если U — случайная величина, равномерно распределённая на интервале (0, 1], то {-\ln U} \sim \Gamma (1, 1).

Теперь, используя свойство k-суммирования, обобщим этот результат:

 \sum_{i=1}^n {-\ln U_i} \sim \Gamma (1, n),

где Uiнезависимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].

Осталось смоделировать гамма-величину для 0 < k < 1 и ещё раз применить свойство k-суммирования. Это является самой сложной частью.

Ниже приведён алгоритм без доказательства. Он является примером выборки с отклонением.

  1. Положить m равным 1.
  2. Сгенерировать V_{2m - 1} и V_{2m} — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].
  3. Если V_{2m - 1} \le v_0, где v_0 = \frac e {e + \delta}, перейти к шагу 4, иначе к шагу 5.
  4. Положить \xi_m = \left( \frac {V_{2m - 1}} {v_0} \right) ^{\frac 1 \delta}, \ \eta_m = V_{2m} \xi _m^ {\delta - 1}. Перейти к шагу 6.
  5. Положить \xi_m = 1 - \ln {\frac {V_{2m - 1} - v_0} {1 - v_0}}, \ \eta_m = V_{2m} e^{-\xi_m}.
  6. Если \eta_m > \xi_m^{\delta - 1} e^{-\xi_m}, то увеличить m на единицу и вернуться к шагу 2.
  7. Принять \xi = \xi_m за реализацию \Gamma (1, \delta).

Подытожим:

 \theta \left( \xi - \sum _{i=1} ^{[k]} {\ln U_i} \right) \sim \Gamma ( \theta, k),

где [k] является целой частью k, а ξ сгенерирована по алгоритму, приведённому выше при δ = {k} (дробная часть k); Ui и Vl распределены как указано выше и попарно независимы.


Bvn-small.png  п·о·р        Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами |Парето | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma Многомерное нормальное | Копула