Гамма-функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гамма-функцияматематическая функция, которая расширяет понятие факториала на поле нецелых действительных и комплексных чисел. Обычно обозначается \Gamma(z).

Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

Определения[править | править вики-текст]

График гамма-функции действительного переменного

Интегральное определение[править | править вики-текст]

Если вещественная часть комплексного числа z положительна, то Гамма-функция определяется через абсолютно сходяшийся интеграл

\Gamma(z)=\int\limits_0^{\infty}\!t^{\,{\mathrm z}-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in\mathbb{C}\colon \mathrm{Re}(z)>0

Это определение было получено Лежандром из оригинального определения Эйлера

\Gamma(z)=\int\limits_0^1 (-\ln{x})^{z-1} \, dx

полученного им в 1730 г., через замену переменной, и на сегодняшний день, именно определение Лежандра известно как «классическое» определение гамма-функции.

Интегрируя по частям классическое определение, легко видеть что для целых n, имеем \Gamma(n) = (n-1)!, и вообще \Gamma(z+1)=z\Gamma(z).

Существует непосредственное аналитическое продолжение исходной формулы на всю комплексную плоскость, называемое интегралом Римана-Ханкеля

~\Gamma(z)=\frac{1}{e^{i 2\pi {\mathrm z}}-1}\int\limits_L\!t^{\,{\mathrm z}-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.

где контур L — любой контур на комплексной плоскости, обходящий точку t = 0 против часовой стрелки, и концы которого уходят на бесконечность вдоль положительной вещественной оси.

Последующие выражения служат альтернативными определениями Гамма-функции.

Определение по Гауссу[править | править вики-текст]

Оно верно для всех комплексных z, за исключением 0 и отрицательных целых чисел

\Gamma(z)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n-1)! \,n^z}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n-1)}, \quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.

Определение по Эйлеру[править | править вики-текст]

\Gamma(z)=\frac{1}{z}\left(\prod\limits_{n=1}^\infty {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^z{\left(1+\frac{z}{n}\right)}^{-1}\right)= \frac{1}{z} \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\mathrm z}}{1+\frac{\mathrm z}{n}},\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.

Определение по Вейерштрассу[править | править вики-текст]

\Gamma(z)=\frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n},\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.

где \gamma=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln{n}\right)\approx 0,57722постоянная Эйлера — Маскерони.

Примечание: иногда используется альтернативная, так называемая пи-функция, связанная с гамма-функцией следующим образом: \Pi(z)=\Gamma(z+1)=z!. Именно этой функцией (а не Г-функцией) пользовались Гаусс, Риман, и многие другие немецкие математики XIX-ого века.

Свойства[править | править вики-текст]

График модуля гамма-функции на комплексной плоскости.
  • Основное свойство гамма-функции это её рекуррентное уравнение
    \Gamma(z+1)=z\Gamma(z)

которое, при фиксированном начальном условии, единственным образом определяет логарифмически выпуклое решение, то есть саму гамма-функцию.

  • Формула дополнения Эйлера:
    \Gamma(1-z)\Gamma(z)={\pi\over\sin\pi z}.
  • Для гамма-функции справедлива формула умножения Гаусса:
    \Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac{1}{n}\right)\cdots\Gamma\left(z+\frac{n-1}{n}\right)=n^{\frac{1}{2}-nz}\cdot(2\pi)^{\frac{n-1}{2}}\Gamma(nz),
  • Частный случай которой при n=2 был получен Лежандром:
    
\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z). \,\!
  • Гамма-функция не имеет нулей на всёй комплексной плоскости.
  • \Gamma(z) является мероморфной на комплексной плоскости и имеющей простые полюса в точках z=0,\;-1,\;-2,\;-3,\;\ldots
  • Гамма-функция имеет полюс первого порядка в z=-n для любого натурального n и нуля; вычет в этой точке задается так
    \operatorname{\mathrm{Res}}_{z=-n}\,\Gamma(z)=\frac{(-1)^n}{n!}.
  • Основное, но полезное свойство, которое может быть получено из предельного определения:
    \overline{\Gamma(z)} = \Gamma(\overline{z}).
  • Гамма-функция дифференцируема бесконечное число раз, и \Gamma^\prime(x)=\psi(x)\Gamma(x), где \psi(x) часто называют «пси-функцией», или дигамма-функцией.
  • Гамма-функция и бета-функция связаны следующим соотношением:
    \Beta(x,\;y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.

Логарифм гамма-функции[править | править вики-текст]

По целому ряду причин, наряду с гамма-функцией часто рассматривают и логарифм гамма-функции — первообразную дигамма-функции.

  • Для него справедливы следующие интегральные представления

\ln\Gamma(z) \, =\, \left(z-{\frac{1}{\,2\,}}\right)\!\ln z -z +{\frac{1}{\,2\,}}\ln2\pi
+\!\int\limits_0^{\,\infty} \!\left[\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{x}+\frac{1}{2} \right] \frac{e^{-xz}}{x}\,dx
\,,\qquad \mathrm{Re}{z}>0

и


\ln\Gamma(z) \, =\, \left(z-{\frac{1}{\,2\,}}\right)\!\ln z -z +{\frac{1}{\,2\,}}\ln2\pi
+2\!\int\limits_0^{\,\infty} \!\frac{\,\mathrm{arctg}(x/z)\,}{e^{2\pi x}-1}\, dx\,,\qquad \mathrm{Re}{z}>0

данные Жаком Бине в 1839-ом году (эти формулы ещё часто называют первой и второй формулой Бине соответственно для логарифма гамма-функции).[1] Несколько отличные интегральные формулы для логарифма гамма-функции также появлялись в работах Карла Мальмстена, Матиаша Лерха и некоторых других. Так, Мальмстен получил формулу схожую с первой формулой Бине[1]


\ln\Gamma(z) \, = \int\limits_0^{\,\infty} \!\left[z-1-\frac{1-e^{-(z-1)x}}{1-e^{-x}} \right] \frac{e^{-x}}{x}\,dx
\,,\qquad \mathrm{Re}{z}>0

а Лерх показывает что все интегралы вида

 
\int\limits_0^{\,\infty} \!\frac{\,e^{2\pi x}\!\cos\varphi - 1\,}{e^{4\pi x}-2e^{2\pi x}\!\cos\varphi + 1}\mathrm{arctg}\frac{u}{x} \; dx \,,\qquad 0<u\leqslant1\,, \quad 0<\varphi<2\pi u

также сводятся к логарифмам гамма-функции. В частности, формула аналогичная второй формуле Бине с «сопряжённым» знаменателем имеет следующий вид


\ln\Gamma(z) = -\biggl(z-{\frac{1}{2}}\biggr)\cdot\left\{1-\ln\biggl(z-{\frac{1}{2}}\biggr) \!\right\} +{\frac{1}{2}}\ln2\pi
- \,2\!\int\limits_0^{\infty} \!\frac{\mathrm{arctg}\big[x/\big(z-\tfrac{1}{2}\big)\big]}{e^{2\pi x}+1}\,dx,
\qquad  \mathrm{Re}{z}>\frac{1}{2}

см. упр. 40 в[2]. Кроме того, Мальмстен также получил ряд интегральных формул для логарифма гамма-функции содержащих гиперболические функции с логарифмом в подынтегральном выражении (или, что то-же, логарифм логарифма с полиномами). В частности,


\ln\Gamma(z)=\,\frac{1}{2}\ln\pi \,-\, \frac{1}{2}\ln\sin\pi z \,- \,\frac{2z-1}{2}\ln2\pi\, - \,\frac{\sin2\pi z}{2\pi}\!
\int\limits_0^\infty \!\!\frac{\,\ln{x}\,}{\,\mathrm{ch}\,{x}-\cos2\pi z\,}\,dx\,,\qquad 0<\mathrm{Re} z <1

см. упр. 2, 29-h, 30 в[2]. Ярослав Благушин показал, что при рациональном аргументе z=k/n, где k и n целые положительные числа такие что k не превосходит n, справедливо следующее представление


\ln\Gamma \biggl(\!\frac{k}{n}\!\biggr)=\frac{(n-2k)\ln2\pi}{2n} + \frac{1}{2}\left\{\ln\pi-\ln\sin\frac{\pi k}{n} \right\}
 + \frac{1}{\pi}\!\sum_{r=1}^{n-1}\frac{\gamma+\ln{r}}{r}\cdot\sin\frac{2\pi r k}{n}- 
\frac{1}{2\pi}\sin\frac{2\pi k}{n}\cdot\!\int\limits_0^\infty \!\!\frac{\,e^{-nx}\!\cdot\ln{x}\,}{\,\mathrm{ch}\,{x}-\cos\dfrac{2\pi k}{n}\,}\,dx\,,\qquad k\neq\frac{n}{2}

см. приложение C в[3], а также упр. 60 и 58 в[2]. Более того, и в более общих случаях интегралы содержащие гиперболические функции с логарифмом (или арктангенсом), в подынтегральном выражении часто сводятся к логарифмам гамма-функции и её производным, в том числе и комплексного аргумента, см. напр. упр. 4-b, 7-а и 13-b в[2].

Логарифм гамма-функции также тесно связан с аналитическим продолжением обобщённой дзета-функции

 
\ln\Gamma(z)=\zeta'(0,z)-\zeta'(0)=\zeta'(0,z)+\frac{1}{2}\ln2\pi

Это важнейшее взаимоотношение выведенное Лерхом позволяет получить большое количество интегральных представлений для логарифма гамма-функции через известные формулы для обобщённой дзета-функции.

  • Ряд Фурье для логарифма гамма-функции имеет следующий вид
 
\ln\Gamma(x) = \left(\frac{1}{2}-x\right)(\gamma+\ln2)+(1-x)\ln\pi 
- \frac{1}{2}\ln\sin\pi x  + \frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin 2\pi n x \cdot\ln{n}}{n}\,, \qquad 0<x<1

Эта формула обычно приписывается Ернсту Куммеру, который её вывел в 1847 г. (в авторитетной литературе[4][1][5] этот ряд даже называется рядом Куммера для логарифма Гамма-функции). Однако, недавно было открыто что эта формула была получена ещё в 1842 г. Карлом Мальмстеном (см. Ярослав Благушин[2]).

  • Помимо разложения в ряд Фурье, существуют и другие разложения в ряды. Одно из самых известных это ряд Стирлинга
\ln \Gamma(z) = z\ln z + O(z)=\left(z-\frac{1}{\,2\,}\right)\!\ln z -z +\frac{1}{\,2\,}\ln2\pi
+\sum_{n=1}^N \frac{B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}+ O(z^{-2N-1})\,,\qquad |\arg z|<\frac{\pi}{2}

где коэффициенты B_{2n} суть числа Бернулли.

  • Из определения гамма-функции по Вейерштрассу, следует ещё одно важное представление рядом[6]
\ln \Gamma(z) = -\gamma z -\ln z + \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{z}{n}-\ln\!\left(1+\frac{z}{n}\right)\right]


Частные значения[править | править вики-текст]

  • Гамма-функция целого и полуцелого аргументов выражается через элементарные функции. В частности
\Gamma(1)=0!=1
\Gamma(2)=1!=1
\Gamma(3)=2!=2
\Gamma(4)=3!=6
\Gamma(5)=4!=24
\Gamma\left(\tfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}.
\Gamma\left(\tfrac{3}{2}\right)=\tfrac{1}{2}\sqrt{\pi}.
\Gamma\left(\tfrac{5}{2}\right)=\tfrac{3}{4}\sqrt{\pi}.
\Gamma\left(\tfrac{7}{2}\right)=\tfrac{15}{8}\sqrt{\pi}.
\Gamma\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{4}{3}\sqrt{\pi}.
\Gamma\left(-\tfrac{3}{2}\right)=-2\sqrt{\pi}.
\Gamma\left(\tfrac{1}{2}+n\right) = {(2n)! \over 4^n n!} \sqrt{\pi} = \frac{(2n-1)!!}{2^n}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi} \cdot \left[ {n-\frac{1}{2}\choose n} n! \right]
\Gamma\left(\tfrac{1}{2}-n\right) = {(-4)^n n! \over (2n)!} \sqrt{\pi} = \frac{(-2)^n}{(2n-1)!!}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi} / \left[ {-\frac{1}{2} \choose n} n! \right]
  • Частные значения гамма-функции от других аргументов (не целых и не полуцелых) остаются на данный момент ещё неизвестными и представляют большой интерес для науки. Так, поиск значения Гамма-функции в точках 1/4 и 1/3 являлся ещё объектом подробных изысканий Эйлера, Гаусса и Лежандра, однако им не удалось подсчитать эти значения в замкнутом виде. На сегодняшний день неизвестно является-ли например Γ(1/4) рациональным числом, однако известно что \Gamma(1/4)/\sqrt[4]{\pi} трансцендентое число.[7] Кроме того, есть также ряд относительно свежих и ещё недостаточно тщательно изученных работ по трансцендентости и алгебраической независимости значений Γ(1/3) и Γ(1/4), см. работы братьев Чудновских и Юрия Нестеренко соответственно. Также, обращает на себя внимание ряд интересных представлений в незамкнутом виде для Γ(1/4)
\Gamma(\tfrac14) = \sqrt \frac{(2 \pi)^{\frac{3}{2}}}{\mathrm{AGM}(\sqrt 2, 1)}
\Gamma(\tfrac14) = (2 \pi)^{\frac{3}{4}} \prod_{k=1}^\infty \mathrm{th} \left( \frac{\pi k}{2} \right)
\Gamma(\tfrac14) = A^3 e^{-\frac{G}{\pi}} \sqrt{\pi} 2^{\frac{1}{6}} \prod_{k=1}^\infty \left(1-\frac{1}{2k}\right)^{k(-1)^k}

где AGM — функция арифметико-геометрического среднего, G — постоянная Каталана и A — постоянная Глейшера—Кинкелина.

Обобщения[править | править вики-текст]

  • В классическом интегральном определении гамма-функции, пределы интегрирования фиксированы. Рассматривают также неполную гамма-функцию, определяемую аналогичным интегралом с переменным верхним либо нижним пределом интегрирования. Различают верхнюю неполную гамма-функцию, часто обозначаемую как гамма-функцию от двух аргументов:
\Gamma(a,z)=\int\limits_{\mathrm z}^\infty\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}

и нижнюю неполную гамма-функцию, аналогично обозначаемую строчной буквой «гамма»:

\gamma(a,z)=\int\limits_0^{\mathrm z}\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}.

Литература и ссылки[править | править вики-текст]

  • В. Я. Арсенин. Математическая физика: основные уравнения и специальные функции, глава X, сс. 225—233. Наука, Москва, 1966.
  • М. А. Евграфов. Аналитические функции, глава VI, сс. 267—273. Наука, Москва, 1968.
  • М. А. Евграфов и др. Сборник задач по теории аналитических функций, сс. 307—316. Наука, Москва, 1969.
  • Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления (7-ое изд.), глава XIV, сс. 750—794. Наука, Москва, 1969.
  • А. И. Маркушевич. Теория аналитических функций (2-ое изд.), том 2, сс. 303—324. Наука, Москва, 1968.
  • Н. Н. Лебедев. Специальные функции и их приложения (2-ое изд.), глава I, сс. 11—27. ФМ, Москва, 1963.
  • А. Ф. Никифоров и В. Б. Уваров. Специальные функции математической физики, сс. 263—268. Наука, Москва, 1978.
  • R. Campbell. Les intégrales eulériennes et leurs applications, Dunod, Paris, 1966.
  • M. Godefroy. La fonction Gamma; Théorie, Histoire, Bibliographie, Gauthier-Villars, Paris, 1901.
  • E. Artin. Einführung in die Theorie der Gammafunktion, Teubner, Leipzig, 1931.
  • N. Nielson. Handbuch der Theorie der Gammafunktion, Teubner, Leipzig, 1906.
  1. 1 2 3 Harry Bateman and Arthur Erdélyi Higher Transcendental Functions [in 3 volumes]. Mc Graw-Hill Book Company, 1955.
  2. 1 2 3 4 5 Iaroslav V. Blagouchine Rediscovery of Malmsten’s integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results. The Ramanujan Journal, vol. 35, no. 1, pp. 21-110, 2014. PDF
  3. Iaroslav V. Blagouchine A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations Journal of Number Theory (Elsevier), vol. 148, pp. 537-592, 2015.
  4. E.T. Whittaker and G. N. Watson A course of modern analysis. An introduction to the general theory of infinite processes and of analytic functions, with an account of the principal transcendental functions (third edition). Cambridge at the University Press, 1920.
  5. H.M. Srivastava and J. Choi Series Associated with the Zeta and Related Functions. Kluwer Academic Publishers. The Netherlands, 2001
  6. Д. С. Кузнецов. Специальные функции (2-ое изд.). Высшая Школа, Москва, 1965.
  7. Philip J. Davis Leonhard Euler’s Integral: A Historical Profile of the Gamma-Function. American Mathematical Monthly, vol. 66, pp. 849—869, 1959.

См. также[править | править вики-текст]

Часть замечаний перенёс в свойства, стёр повторы, добавил формул для lnGamma, частн. значения и снабдил страничку обширной лит-рой по теме.