Гамма-функция

Гамма-функция — математическая функция, которая расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается $Γ(z)$ .

Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

Содержание

График гамма-функции действительного переменного

Если вещественная часть комплексного числа $z$ положительна, то Гамма-функция определяется через интеграл

$~\Gamma(z)=\int\limits_0^{+\infty}\!t^{z-1}e^{-t}\,dt$

На всю комплексную плоскость функция распространяется через тождество

$~\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$ .

Интеграл выше сходится абсолютно если вещественная часть комплексного числа $z$ положительна.
Применяя интегрирование по частям, можно показать, что тождество

$Γ(z + 1) = z Γ(z)$

выполняется для подынтегрального выражения

$\Gamma(n+1)=n\cdot\Gamma(n)=\ldots=n!\cdot\Gamma(1)=n!$

$Γ(z)$ является мероморфной на комплексной плоскости и имеющей полюса в точках $z=0,\;-1,\;-2,\;-3,\;\ldots$ .

Иногда используется альтернативная запись, так называемая пи-функция, зависящая от гамма-функции следующим образом:

$Π(z) = Γ(z + 1) = z Γ(z)$ .
В интеграле выше, определяющем гамма-функцию, пределы интегрирования фиксированы. В неполной гамма-функции допускается, чтобы верхний либо нижний предел интегрирования был переменным. Неполную гамма-функцию часто обозначают как гамма-функцию от двух аргументов:

$\Gamma(a,z)=\int\limits_{z}^{\infty}\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}$ .

График модуля гамма-функции на комплексной плоскости.

формула дополнения

$\Gamma(1-z)\Gamma(z)={\pi\over\sin\pi z}$ .
Вероятно, наиболее известное значение гамма-функции от нецелого аргумента это

$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$ .
Гамма-функция имеет полюс в $z = - n$ для любого натурального $n$ ; вычет в этой точке задается так

$\operatorname{\mathrm{Res}}_{z=-n}\,\Gamma(z)=\frac{(-1)^n}{n!}$ .
Следующее бесконечное произведение для гамма-функции, как показал Вейерштрасс, верно для всех комплексных $z$ , не являющихся неположительными целыми:

$\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z}\prod_{n=1}^\infty\left(1 +\frac{z}{n}\right)^{-1}e^\frac{z}{n}$ ,

где

γ

формула, полученная Гауссом:

$\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac{1}{n}\right)\ldots\Gamma\left(z+\frac{n-1}{n}\right)=n^{\frac{1}{2}-nz}\cdot(2\pi)^{\frac{n-1}{2}}\Gamma(nz)$ .
Гамма-функция дифференцируема бесконечное число раз, и $\Gamma^\prime(x)=\psi(x)\Gamma(x)$ , где $ψ(x)$ часто называют «пси-функцией», или дигамма-функцией.
Гамма-функция и бета-функция связаны следующим соотношением:

$\Beta(x,\;y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$ .