Гамма-функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гамма-функцияматематическая функция, которая расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается \Gamma(z).

Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

Определения[править | править вики-текст]

График гамма-функции действительного переменного

Интегральное определение[править | править вики-текст]

Если вещественная часть комплексного числа z положительна, то Гамма-функция определяется через интеграл

~\Gamma(z)=\int\limits_0^{+\infty}\!t^{\,{\mathrm z}-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in\mathbb{C}\colon \mathrm{Re}(z)>0

На всю комплексную плоскость функция аналитически продолжается через тождество

~\Gamma(z+1)=z\Gamma(z).

Существует непосредственное аналитическое продолжение исходной формулы на всю комплексную плоскость, называемое интегралом Римана-Ханкеля

~\Gamma(z)=\frac{1}{e^{i 2\pi {\mathrm z}}-1}\int\limits_L\!t^{\,{\mathrm z}-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.

где контур L — любой контур на комплексной плоскости, обходящий точку t = 0 против часовой стрелки, и концы которого уходят на бесконечность вдоль положительной вещественной оси.

Последующие выражения служат альтернативными определениями Гамма-функции.

Определение по Гауссу[править | править вики-текст]

Оно верно для всех комплексных z, за исключением 0 и отрицательных целых чисел

\Gamma(z)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n! \,n^z}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n)}, \quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.

Определение по Эйлеру[править | править вики-текст]

\Gamma(z)=\frac{1}{z}\left(\prod\limits_{n=1}^\infty {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^z{\left(1+\frac{z}{n}\right)}^{-1}\right)= \frac{1}{z} \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\mathrm z}}{1+\frac{\mathrm z}{n}},\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.

Определение по Вейерштрассу[править | править вики-текст]

\Gamma(z)=\frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n},\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.

где \gamma=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln{n}\right)\approx 0,57722постоянная Эйлера — Маскерони.

Замечания[править | править вики-текст]

выполняется для подынтегрального выражения.
\Gamma(n+1)=n\cdot\Gamma(n)=\ldots=n!\cdot\Gamma(1)=n!

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Иногда используется альтернативная запись, так называемая пи-функция, зависящая от гамма-функции следующим образом:
    \Pi(z)=\Gamma(z+1)=z\Gamma(z).
  • В интеграле выше, определяющем гамма-функцию, пределы интегрирования фиксированы. Рассматривают также неполную гамма-функцию, определяемую аналогичным интегралом с переменным верхним либо нижним пределом интегрирования. Различают верхнюю неполную гамма-функцию, часто обозначаемую как гамма-функцию от двух аргументов:
\Gamma(a,z)=\int\limits_{\mathrm z}^\infty\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}

и нижнюю неполную гамма-функцию, аналогично обозначаемую строчной буквой «гамма»:

\gamma(a,z)=\int\limits_0^{\mathrm z}\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}.

Свойства[править | править вики-текст]

График модуля гамма-функции на комплексной плоскости.
  • Формула дополнения Эйлера:
    \Gamma(1-z)\Gamma(z)={\pi\over\sin\pi z}.
  • Из неё вытекает формула умножения Гаусса enru:
    \Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac{1}{n}\right)\ldots\Gamma\left(z+\frac{n-1}{n}\right)=n^{\frac{1}{2}-nz}\cdot(2\pi)^{\frac{n-1}{2}}\Gamma(nz),
  • которую при n=2 называют формулой удвоения Лежандра:
    
\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z). \,\!
  • Наиболее известные значения гамма-функции от нецелого аргумента это
    \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}.
    \Gamma(\tfrac14)=\sqrt\frac{(2 \pi)^{3/2}}{AGM(\sqrt 2, 1)}.
    \Gamma\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.
    \Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right) = {(2n)! \over 4^n n!} \sqrt{\pi} = \frac{(2n-1)!!}{2^n}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi} \cdot \left[ {n-\frac{1}{2}\choose n} n! \right]
    \Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right) = {(-4)^n n! \over (2n)!} \sqrt{\pi} = \frac{(-2)^n}{(2n-1)!!}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi} / \left[ {-\frac{1}{2} \choose n} n! \right]
  • Гамма-функция имеет полюс в z=-n для любого натурального n и нуля; вычет в этой точке задается так
    \operatorname{\mathrm{Res}}_{z=-n}\,\Gamma(z)=\frac{(-1)^n}{n!}.
  • Следующее бесконечное произведение для гамма-функции, как показал Вейерштрасс, верно для всех комплексных z, не являющихся неположительными целыми:
    \Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{k=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{k}\right)^{-1} e^{z/k},
где \gamma — это константа Эйлера.
  • Основное, но полезное свойство, которое может быть получено из предельного определения:
    \overline{\Gamma(z)} = \Gamma(\overline{z}).
  • Гамма-функция дифференцируема бесконечное число раз, и \Gamma^\prime(x)=\psi(x)\Gamma(x), где \psi(x) часто называют «пси-функцией», или дигамма-функцией.
  • Гамма-функция и бета-функция связаны следующим соотношением:
    \Beta(x,\;y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.

Литература[править | править вики-текст]

Кузнецов Д.С. Специальные функции (1962) - 249 с.

См. также[править | править вики-текст]