Гармоническая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гармони́ческая фу́нкция — вещественная функция U, определенная и дважды непрерывно дифференцируемая на евклидовом пространстве D (или его открытом подмножестве), удовлетворяющая уравнению Лапласа:

\Delta U = 0,\

где \Delta=\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2}{\partial x_i^2} — оператор Лапласа, то есть сумма вторых производных по всем прямоугольным декартовым координатам xi (n = dim D - размерность пространства).

Например, гармонической функцией является электростатический потенциал в точках, где отсутствует заряд.

Свойства[править | править исходный текст]

Принцип максимума[править | править исходный текст]

Функция U, гармоническая в области D, достигает своего максимума и минимума только на границе \partial D. Таким образом, гармоническая функция не может иметь во внутренней точке области локального экстремума, за исключением тривиального случая постоянной в D функции. Однако функция может быть неопределена на границе, поэтому правильнее сказать \forall m \in D \inf_{Q \in D}U(Q) < U(m) < \sup_{Q \in D}U(Q)

Теорема Лиувилля[править | править исходный текст]

Гармоническая функция, определённая на \Bbb{R}^n и ограниченная сверху или снизу, постоянна.

Свойство среднего[править | править исходный текст]

Если функция u гармонична в некотором шаре B(x_0) с центром в точке x_0, то её значение в точке x_0 равно её среднему значению по границе этого шара или по шару:

u(x_0) = \frac{1}{\mu(\partial B)} \int\limits_{\partial B} u dS = \frac{1}{\mu (B)} \int\limits_{B} u dV

где \mu (B) — объём шара B(x_0) и \mu(\partial B) — площадь его границы. Обратно, любая функция, обладающая свойством среднего в некоторой области, является в этой области гармонической.

Дифференцируемость[править | править исходный текст]

Функция, гармоническая в области, бесконечно дифференцируема в ней.

Неравенство Гарнака[править | править исходный текст]

Если функция U(M)=U(x_1,...x_k), гармоническая в к-мерном шаре Q_r радиуса R с центром в некоторой точке M_0, неотрицательна в этом шаре, то для ее значений в точках M внутри рассматриваемого шара справедливы неравенства: {{R^{k-2}}{\frac{R-r}{(R+r)^{k-1}}}U(M_0)}\le{U(M)}\le{R^{k-2}\frac{R+r}{(R-r)^{k-1}}U(M_0)}, где r=\rho(M_0, M)<R[1].

Теорема Гарнака[править | править исходный текст]

Пусть v_n(z) - положительные гармонические функции в некоторой области D. Если ряд  \sum_{1}^\infty v_{n}(z) сходится хотя бы в одной точке области D, то он равномерно сходится внутри D.

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. А.Ф. Тиман, В.Н. Трофимов Введение в теорию гармонических функций. М.: Наука, 1968

Литература[править | править исходный текст]