Гармоническая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Гармони́ческая фу́нкция — вещественная функция U, дважды непрерывно дифференцируемая в евклидовом пространстве D, удовлетворяющая уравнению Лапласа: ΔU = 0, где  — сумма вторых производных по всем переменным.

Например, гармонической функцией является электростатический потенциал в точках, где отсутствует заряд.

Содержание 1 Свойства 1.1 Принцип максимума 1.2 Теорема Лиувилля 1.3 Свойство среднего 1.4 Дифференцируемость 2 Литература 3 См. также

[править] Свойства

[править] Принцип максимума

Функция U, гармоническая в области D, достигает своего максимума и минимума только на границе . Таким образом, гармоническая функция не может иметь во внутренней точке области локального экстремума, за исключением тривиального случая постоянной в D функции. Однако функция может быть неопределена на границе, поэтому правильней сказать

[править] Теорема Лиувилля

Гармоническая функция, определённая на и ограниченная сверху или снизу, постоянна.

[править] Свойство среднего

Если функция u гармонична в некотором шаре B(x₀) с центром в точке x₀, то её значение в точке x₀ равно её среднему значению по границе этого шара или по шару:

где  — объём шара B(x₀),  — площадь его границы. Обратно, любая функция, обладающая свойством среднего в некоторой области, является в этой области гармонической.

[править] Дифференцируемость

Функция, гармоническая в области, бесконечно дифференцируема в ней.

[править] Литература

• Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X

[править] См. также

• Субгармоническая функция
• Оператор Лапласа
• Задача Дирихле
• Голоморфная функция

Это незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.