Гауссовский процесс

Га́уссовский проце́сс в теории случайных процессов — это вещественный процесс, чьи конечномерные распределения гауссовские.

Определение

Пусть дан случайный процесс $\{X_t\}_{t \in T}$. Тогда он называется гауссовским, если для любых $t_1,\ldots,t_n \in T$ случайный вектор $(X_{t_1},\ldots, X_{t_n})^{\top}$ имеет многомерное нормальное распределение.

Замечание

В силу определения многомерного нормального распределения, гауссовский процесс полностью определяется его средним

$m(t) = \mathbb{E}[X_t], \quad t \in T$

и ковариационной функцией

$C(t,s) = \mathrm{cov}(X_t,X_s),\quad t,s\in T$.

Гауссовский случайный процесс-процесс,для которого все кумулянтные функции начиная с третьего порядка равны 0.

Примеры

• Броуновский мост;
• Винеровский процесс;
• Гауссовский белый шум, то есть процесс $\{X_t\}_{t \ge 0}$, где случайные величины $X_{t_1},\ldots,X_{t_n}$ независимы в совокупности для любых $t_1,\ldots,t_n \in T$ и $X_t \in \mathrm{N}(0,1),\; \forall t \in T$. Тогда

$\mathbb{E}[X_t] = 0$,

и

$\mathrm{cov}\, (X_t,X_s) = \delta_{ts}$.

См. также

• Теория вероятностей
• Математическая статистика
• Ширяев, Альберт Николаевич
• Питербарг, Владимир Ильич