Гауссов интеграл

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Га́уссов интегра́л (также интеграл Э́йлера — Пуассо́на или интеграл Пуассона[1]) — интеграл от гауссовой функции:

\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.

Гауссовы интегралы от масштабированной гауссовой функции

\int_{-\infty}^\infty \alpha e^{-x^2 /\beta^2}\,dx = \alpha \beta \sqrt{\pi}

и многомерные гауссовы интегралы

\int\alpha e^{- (x^2 /\beta_1^2 + y^2/\beta_2^2 + z^2/\beta_3^2 + \dots)}\,dx dy dz \dots = \alpha \beta_1\beta_2\beta_3\dots \sqrt{\pi^n}

элементарно сводятся к обычному одномерному, описанному первым (здесь и ниже везде подразумевается интегрирование по всему пространству).

То же относится к многомерным интегралам вида

\int e^{x M x}\,dx_1 dx_2 dx_3 \dots dx_n = \sqrt{\frac{\pi^n}{|\det(M)|}}

где x — вектор, а M — симметричная матрица с отрицательными собственными числами, так как такие интегралы сводятся к предыдущему, если сделать преобразование координат, диагонализующее матрицу М.

Практическое применение (например, для вычисления Фурье-преобразования от гауссовой функции) часто находит следующее соотношение

 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a^2 x^2 + bx + c} \, dx = \frac{1}{a} \sqrt{\pi} e^{b^2/4a^2 + c}

История[править | править вики-текст]

Впервые одномерный гауссов интеграл вычислен в 1729 году Эйлером, затем Пуассон нашел простой приём его вычисления[2]. В связи с этим он получил название интеграла Эйлера — Пуассона.

Примечания[править | править вики-текст]