Геодезическая

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Геодезическая — кривая определённого типа, обобщение понятия «прямая» в искривлённых пространствах. Конкретное определение геодезической зависит от типа пространства.

Содержание

[править] Дифференциальная геометрия

[править] Многообразия с аффинной связностью

В многообразиях с аффинной связностью \nabla, геодезическая это кривая γ(t) удовлетворяющая уравнению

\nabla_{\dot\gamma} \dot\gamma = 0.

В координатном виде можно переписать это уравнение, используя символы Кристоффеля

\frac{d^2x^\lambda }{dt^2} + \Gamma^{\lambda}_{~\mu \nu }\frac{dx^\mu }{dt}\frac{dx^\nu }{dt} = 0\ , где xμ(t) — координаты кривой.

[править] Римановы и псевдо-римановы многообразия

В римановых и псевдо-римановых пространствах, геодезическая определяется как критическая кривая интеграла энергии

E(\gamma)=\int\limits_\gamma\limits\! g(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))\,dt.

Здесь γ(t) — кривая в пространстве, g — риманова или псевдо-риманова метрика. (В физике этот интеграл принято называть интегралом действия).

Это условие эквивалентно тому, что

\nabla_{\dot\gamma} \dot\gamma = 0

вдоль всей кривой, где \nabla обозначает связность Леви-Чивита.

[править] Метрическая геометрия

В метрических пространствах геодезическая определяется как локально кратчайшая с равномерной параметризацией (часто с натуральным параметром).

Для римановых многообразий, это определение задаёт тот же класс кривых, что и дифференциально-геометрическое определение приведённое выше.


 Для улучшения этой статьи желательно?:
Источник — «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%B7%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F»