Геометрическая прогрессия

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел $b_1,\ b_2,\ b_3,\ \ldots$ (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число $q \quad$ (знаменатель прогрессии), где $b_1\not=0$, $q\not=0$: $b_1,\ b_2=b_1q,\ b_3=b_2q,\ \ldots,\ b_n=b_{n-1}q$.

Описание

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:

$b_n=b_1q^{n-1} \quad$

Если $b_1>0$ и $q>1$, прогрессия является возрастающей последовательностью, если $0<q<1$, — убывающей последовательностью, а при $q<0$ — знакочередующейся.

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

$|b_{n}| = \sqrt{b_{n-1} b_{n+1}},$

то есть каждый член равен среднему геометрическому его соседей.

Примеры

• Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата^:8-9.
• Последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
• 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
• 50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая прогрессия со знаменателем -½.
• $\pi, \pi, \pi, \pi$ — геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и арифметическая прогрессия с шагом 0).

Свойства

• Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию

Доказательство

Пусть $w_n$ — последовательность : $w_n = \log_pb_n\$

$\forall n>1\quad \frac{w_{n-1} + w_{n+1}}{2} = \frac{\log_pb_{n-1} + \log_pb_{n+1}}{2} = \frac{\log_pb_1q^{n-2} + \log_pb_1q^{n}}{2} = \frac{\log_p(b_1^2q^{2n-2})}{2} = \frac{2\cdot \log_pb_1q^{n-1}}{2} = \log_pb_n = w_n\$

Полученное соотношение является характеристическим для арифметической прогрессии.

• $b_{n}^2 = b_{n-i} b_{n+i}, i < n$

Доказательство

$b_n^2 = b_nb_n = b_1q^{n - 1}b_1q^{n - 1} = b_1q^{n - 1 - i}b_1q^{n - 1 + i} = b_{n - i}b_{n + i}$

• Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:

  $P_{n} = (b_1\cdot b_n)^\frac{n}{2}$,

Доказательство

$P_n = \prod_{i=1}^nb_i = \prod_{i=1}^nb_1q^{i-1} = b_1^n\prod_{i=1}^nq^{i-1} = b_1^{\frac{n}{2}}b_1^{\frac{n}{2}}q^{\frac{n(0 + (n - 1))}{2}} = (b_1b_1q^{n-1})^{\frac{n}{2}} = (b_1b_n)^{\frac{n}{2}}$

• Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, можно рассчитать по формуле:

  $P_{k,n} = \frac{P_{n}}{P_{k-1}}$

Доказательство

$P_{k,n} = \prod_{i=k}^nb_i = \frac{\prod_{i=1}^nb_i}{\prod_{j=1}^{k-1}b_j} = \frac{P_n}{P_{k-1}}$

• Сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии:

  $S_n = \begin{cases} \sum_{i=1}^n b_i = \frac{b_nq-b_1}{q-1}=\frac{b_1(q^{n}-1)}{q-1}, & \mbox{if } q \ne 1 \\ nb_1, & \mbox{if } q = 1 \end{cases}$

Доказательство

• Через сумму:

  $S_n = \sum_{i=1}^n b_1q^{i-1} = b_1 + \sum_{i=2}^n b_1q^{i-1} = b_1 + q\sum_{i=2}^n b_1q^{i-2} = b_1 + q\sum_{i=1}^{n-1}b_1q^{i-1} = b_1+q\sum_{i=1}^nb_1q^{i-1} - b_1q^n \Rightarrow$

  $\Rightarrow (1 - q)\sum_{i=1}^nb_1q^{i-1} = b_1 - b_1q^n \Rightarrow \sum_{i=1}^n b_1q^{i-1} = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}$

• Индукцией по $n$:

  $n = 1 : S_1 = \sum_{i=1}^1 b_i = b_1 = b_1\frac{1 - q^1}{1 - q}$

  $n \rightarrow n + 1 : S_{n+1} = \sum_{i=1}^{n+1}b_i = \sum_{i=1}^nb_i + b_{n+1} = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} + b_1q^n = b_1(\frac{1 - q^n}{1 - q} + q^n) = b_1(\frac{1 - q^n + q^n - q^{n+1}}{1 - q}) = b_1\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$

• Если $\left| q \right|<1$, то $b_n \to 0$ при $n \to +\infty$, и

  $S_n \to {b_1 \over 1-q}$ при $n \to +\infty$.

См. также

• Арифметическая прогрессия
• Числа Фибоначчи
• Показательная функция