Геометрическая прогрессия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел b_1,\ b_2,\ b_3,\ \ldots (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число q \quad (знаменатель прогрессии), где b_1\not=0, q\not=0: b_1,\ b_2=b_1q,\ b_3=b_2q,\ \ldots,\ b_n=b_{n-1}q[1].

Описание[править | править вики-текст]

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:

b_n=b_1q^{n-1} \quad

Если b_1>0 и q>1, прогрессия является возрастающей последовательностью, если 0<q<1, — убывающей последовательностью, а при q<0 — знакочередующейся[2].

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

 |b_{n}| = \sqrt{b_{n-1} b_{n+1}},

то есть каждый член равен среднему геометрическому его соседей.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата[3]:8-9.
  • Последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
  • 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
  • 50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая прогрессия со знаменателем -½.
  • \pi, \pi, \pi, \pi — геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и арифметическая прогрессия с шагом 0).

Свойства[править | править вики-текст]

  • b_{n}^2 = b_{n-i} b_{n+i}, 1 < i < n
  • Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:
    P_{n} = (b_1\cdot b_n)^\frac{n}{2},
  • Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, можно рассчитать по формуле:
    P_{k,n} = \frac{P_{n}}{P_{k-1}}
  • Сумма n первых членов геометрической прогрессии:
    S_n = \begin{cases}
  \sum_{i=1}^n  b_i = \frac{b_1q^{n}-b_1}{q-1}=\frac{b_1(q^{n}-1)}{q-1}, & \mbox{if } q \ne 1 \\
  nb_1, & \mbox{if } q = 1
\end{cases}
  • Если \left| q \right|<1, то  b_n \to 0 при n \to +\infty, и
    S_n \to {b_1 \over 1-q} при n \to +\infty.

Примечания[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]