Геометрическая прогрессия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел $b_1,\ b_2,\ b_3,\ \ldots,\ b_n$ (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число $q \quad$ (знаменатель прогрессии), где $b_1\not=0$ , $q\not=0$ и обычно предполагают ещё, что $q\not=1$

$b_1,\ b_2=b_1q,\ b_3=b_2q,\ \ldots,\ b_n=b_{n-1}q$

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:

$b_n=b_1q^{n-1} \quad$

Если $b 1 > 0$ и $q > 1$ , прогрессия является возрастающей, если $0 < q < 1$ , — убывающей, а при $q < 0$ — знакопеременной

[править] Пример

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — прогрессия со знаменателем 2, из тринадцати членов

[править] Свойства

Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию
$b_{n}^2 = b_{n-i} b_{n+i}, i<n$
Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:

$P_{n} = (a_1\cdot a_n)^\frac{n}{2}$ ,
Произведение членов геометрической прогрессии начиная с K-ого члена, и заканчивая N-ым членом, можно рассчитать по формуле:

$P_{k,n} = \frac{P_{n}}{P_{k}}$
Сумма n первых членов геометрической прогрессии (выводится индукцией по n):

$S_n = \sum_{i=1}^n b_i = \frac{b_{n+1}-b_1}{q-1}=b_1\frac{q^n-1}{q-1}$ , при $q \ne 1$

$S n = n b 1$ , при $q = 1$
- Если $\left| q \right|<1$ , то $b_n \to 0$ при $n \to \infty$ , и
  
  $S_n \to {b_1 \over 1-q}$ при $n \to \infty$ .