Геометрическое место точек

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Геометри́ческое ме́сто то́чек (ГМТ) — фигура речи в математике, употребляемая для определения геометрической фигуры как множества точек, обладающих некоторым свойством.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Серединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка.
  • Окружность есть геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки, называемой центром окружности.
  • Парабола есть геометрическое место точек, равноудалённых от точки (называемой фокусом) и прямой (называемой директрисой).
  • Биссектриса есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.
  • Окружность есть геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом. Ещё одно определение — геометрическое место точек, отношение расстояния от которых до двух данных точек постоянно, см. окружность Аполлония.

Формальное определение[править | править вики-текст]

В общем случае, геометрическое место точек формулируется параметрическим предикатом, аргументом которого является точка данного линейного пространства. Параметры предиката могут носить различный тип. Предикат называется детерминантом геометрического места точек. Параметры предиката называются дифференциалами геометрического места точек (не путать с дифференциалом в анализе).

Роль дифференциалов во введении видовых различий в фигуру. Количество дифференциалов может быть любым; дифференциалов может и вовсе не быть.

Если заданы детерминант P(M,\;a,\;b,\;c,\;\ldots), где M — точка, a,\;b,\;c,\;\ldots — дифференциалы, то искомую фигуру A задают в виде: «A — геометрическое место точек M, таких, что P(M,\;a,\;b,\;c,\;\ldots)». Далее обычно указывается роль дифференциалов, им даются названия применительно к данной конкретной фигуре. Под собственно фигурой понимают совокупность (множество) точек M, для которых для каждого конкретного набора значений a,\;b,\;c,\;\ldots высказывание P(M,\;a,\;b,\;c,\;\ldots) обращается в тождество. Каждый конкретный набор значений дифференциалов определяет отдельную фигуру, каждую из которых и всех их в совокупности именуют названием фигуры, которая задаётся через ГМТ.

В словесной формулировке предикативное высказывание озвучивают литературно, то есть с привлечением различного рода оборотов и т. д. с целью благозвучия. Иногда, в случае простых детерминантов, вообще обходятся без буквенных обозначений.

Пример: параболу зададим как множество всех таких точек M, что расстояние от M до точки F равно расстоянию от M до прямой l. Тогда дифференциалы параболы — F и l; детерминант — предикат P(M,\;F,\;l)=(\rho(M,\;F)=\rho_l(M,\;l)), где \rho — расстояние между двумя точками (метрика), \rho_l — расстояние от точки до прямой. И говорят: «Парабола — геометрическое место точек M, равноудалённых от точки F и прямой l. Точку F называют фокусом параболы, а прямую l — директрисой».