Геометрическое распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Геометрическое распределение
Функция вероятности
Geometricpdf.jpg
Функция распределения
Geometriccdf.jpg
Обозначение \mathrm{Geom}(p)\!
Параметры n \geq 0\! —число «неудач» до первого «успеха»
0 < p \leq 1\! — вероятность «успеха»
\ q \equiv 1-p\! — вероятность «неудачи»
n \geq 1 —номер первого «успеха»
0 < p \leq 1 — вероятность «успеха»
\ q \equiv 1-p — вероятность «неудачи»
Носитель n \in \{0,1,2,3,\dots\}\! n \in \{1,2,3,\dots\}\!
Функция вероятности q^n p\! q^{n-1} p\!
Функция распределения 1-q^{n+1}\! 1-q^n\!
Математическое ожидание \frac{q}{p}\! \frac{1}{p}\!
Медиана N/A N/A
Мода 0\! 1\!
Дисперсия \frac{q}{p^2}\! \frac{q}{p^2}\!
Коэффициент асимметрии \frac{2-p}{\sqrt{1-p}}\! \frac{2-p}{\sqrt{1-p}}\!
Коэффициент эксцесса 6+\frac{p^2}{1-p}\! 6+\frac{p^2}{1-p}\!
Информационная энтропия -\log_2 p-\frac{q}{p}\log_2{q}\! -\log_2 p-\frac{q}{p}\log_2{q}\!
Производящая функция моментов \frac{p}{1-qe^t}\! \frac{p e^t}{1-qe^t}\!
Характеристическая функция \frac{p}{1-qe^{it}}\! \frac{p e^{it}}{1-qe^{it}}\!

Геометри́ческое распределе́ние в теории вероятностей — распределение дискретной случайной величины равной количеству испытаний случайного эксперимента до наблюдения первого «успеха».

Определение[править | править вики-текст]

Пусть X_1 ,\ldots, X_n,\ldots — бесконечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

X_i = \left\{
\begin{matrix}
1, & p \\
0, & q \equiv 1-p
\end{matrix} \right.,\; i=1,2,\ldots

Построим случайную величину Y = \min \left\{ i \mid X_i = 1 \right\} - 1 — количество «неудач» до первого «успеха». Распределение случайной величины Y называется геометрическим с вероятностью «успеха» p, что обозначается следующим образом: Y \sim \mathrm{Geom}(p).

Функция вероятности случайной величины Y имеет вид:

\mathbb{P}(Y = n) = q^n p,\; n=0,1,2,\ldots

Замечание[править | править вики-текст]

  • Иногда полагают по определению, что X — номер первого «успеха». Тогда функция вероятности принимает форму \mathbb{P}(X = n) = q^{n-1} p. В таблице справа приведены формулы для обоих вариантов.
  • Функция вероятности является геометрической прогрессией, откуда и происходит название распределения.

Моменты[править | править вики-текст]

Производящая функция моментов геометрического распределения имеет вид:

M_Y(t) = \frac{p}{1-qe^t},

откуда

\mathbb{E}[Y] = \frac{q}{p},
\mathrm{D}[Y] = \frac{q}{p^2}.

Свойства геометрического распределения[править | править вики-текст]

  • Из всех дискретных распределений с носителем \{1,2,3,\dots\}\! и фиксированным средним \mu > 1 геометрическое распределение \mathrm{Geom}(1/\mu) является одним из распределений с максимальной информационной энтропией.
  • Если Y_1,\ldots, Y_n независимы и Y_i \sim \mathrm{Geom}(p_i),\; i=1,\ldots,n, то
Y = \min\limits_i (Y_i) \sim \mathrm{Geom}\left(1 - \prod\limits_{i=1}^n (1-p_i)\right).

Отсутствие памяти[править | править вики-текст]

Если Y\sim \mathrm{Geom}(p), то \mathbb{P}(Y > m + n \mid Y \geq m ) = \mathbb{P}(Y>n)\;, \forall m,n \in \mathbb{N}\cup \{0\}, то есть количество прошлых «неудач» не влияет на количество будущих «неудач».

Геометрическое распределение — это единственное дискретное распределение со свойством отсутствия памяти.

Связь с другими распределениями[править | править вики-текст]

\sum\limits_{i=1}^n Y_i \sim \mathrm{NB}(n,p).

Пример[править | править вики-текст]

Пусть игральная кость кидается до выпадания первой шестёрки. Тогда вероятность, что нам потребуется не больше трёх бросков, равна

\mathbb{P}(Y \le 2) = \mathbb{P}(Y=0) + \mathbb{P}(Y = 1) + \mathbb{P}(Y=2)  =
= \left(\frac{5}{6}\right)^{\!0} \left(\frac{1}{6}\right) + \left(\frac{5}{6}\right)^{\!1} \left(\frac{1}{6}\right) + \left(\frac{5}{6}\right)^{\!2} \left(\frac{1}{6}\right) \approx 0{,}42.

Ожидаемое число бросков равно

\mathbb{E}(Y) + 1 = \frac{5/6}{1/6} + 1 = 6.

См. также[править | править вики-текст]

Bvn-small.png  п·о·р        Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами |Парето | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma Многомерное нормальное | Копула