Гессиан функции

Гессиан функции — симметрическая квадратичная форма, описывающая поведение функции во втором порядке.

Для функции f, дважды дифференцируемой в точке $x\in \R^n$

$H(x) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j$

или

$H(z) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} z_i \overline{z}_j$

где $a_{ij}=\partial^2 f/\partial x_i \partial x_j$ (или $a_{ij}=\partial^2 f/\partial z_i \partial \overline{z}_j$) и функция f задана на n-мерном вещественном пространстве $\mathbb{R}^n$ (или комплексном пространстве $\mathbb{C}^n$) с координатами $x_1,\ldots,x_n$ (или $z_1,\ldots,z_n$). В обоих случаях гессиан — квадратичная форма, заданная на касательном пространстве, не меняющаяся при линейных преобразованиях переменных. Гессианом также часто называют и определитель матрицы $(a_{ij}),\,$ см. ниже.

Матрица Гессе

Матрица этой квадратичной формы образована вторыми частными производными функции. Если все производные существуют, то

$H(f) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix}$

Определитель этой матрицы называется определителем Гессе, или гессианом.

Матрицы Гессе используются в задачах оптимизации методом Ньютона. Полное вычисление матрицы Гессе может быть затруднительно, поэтому были разработаны квазиньютоновские алгоритмы, основанные на приближённых выражениях для матрицы Гессе. Наиболее известный из них — алгоритм Бройдена — Флетчера — Гольдфарба — Шанно (англ.).

Симметрия матрицы Гессе

Смешанные производные функции f — это элементы матрицы Гессе, стоящие не на главной диагонали. Если они непрерывны, то порядок дифференцирования не важен:

$\frac {\partial}{\partial x_i} \left( \frac { \partial f }{ \partial x_j} \right) = \frac {\partial}{\partial x_j} \left( \frac { \partial f }{ \partial x_i} \right)$

Это можно также записать как

$f_{x_i x_j} = f_{x_j x_i}, \quad \forall i,j \in \{1,\ldots, n\}.$

В этом случае матрица Гессе симметрична.

Критические точки функции

Если градиент f (её векторная производная) равен нулю в некоторой точке x₀, то эта точка называется критической. Достаточным условием существования экстремума в этой точке является знакоопределённость гессиана f (понимаемого в данном случае как квадратичная форма), а именно:

• если гессиан положительно определён, то x₀ — точка локального минимума функции f(x),
• если гессиан отрицательно определён, то x₀ — точка локального максимума функции f(x),
• если гессиан не является знакоопределённым (принимает как положительные, так и отрицательные значения) и невырожден $(\det H(f) \neq 0)$, то x₀ — седловая точка функции f(x).

Вариации и обобщения

Если f — векторнозначная функция, то есть

$f = (f_1, f_2, \dots, f_n),$

то её вторые частные производные образуют не матрицу, а тензор ранга n+1.

История

Понятие введено Людвигом Отто Гессе (1844), который использовал другое название. Термин «гессиан» был введён Джеймсом Джозефом Сильвестром.

См. также

• Якобиан
• Критическая точка (математика)
• Лемма Морса
• Критерий Сильвестра - критерий положительной / отрицательной определённости квадратной матрицы

Ссылки

• Зорич В. А. Математический анализ. — Любое издание.
• Кудрявцев Л.Д «Краткий курс математического анализа. Т.2. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных. Гармонический анализ», ФИЗМАТЛИТ, 2002, — 424 с. — ISBN 5-9221-0185-4. Или любое другое издание.
• Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности, — М.: Мир, 1977.