Гильбертово пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ги́льбертово простра́нство — обобщение евклидова пространства, допускающее бесконечную размерность. Названо в честь Давида Гильберта.

Важнейшим объектом исследования в гильбертовом пространстве являются линейные операторы. Само понятие гильбертова пространства сформировалось в работах Гильберта и Шмидта по теории интегральных уравнений, а абстрактное определение было дано в работах фон Неймана, Риса и Стоуна по теории эрмитовых операторов.

Определение[править | править вики-текст]

Гильбертово пространство — линейное (векторное) пространство (над полем вещественных или комплексных чисел), в котором для любых двух элементов пространства x и y определено скалярное произведение (x,y) и полное относительно порожденной скалярным произведением метрики d(x,y)=||x-y||=\sqrt{(x-y,x-y)}. Если условие полноты пространства не выполнено, то говорят о предгильбертовом пространстве. Однако, большинство из известных (используемых) пространств либо являются полными, либо могут быть пополнены.

Таким образом, гильбертово пространство есть банахово пространство (полное нормированное пространство), норма которого порождена положительно определённым скалярным произведением и определяется как ||x||=\sqrt{(x,x)}

Норма в произвольном нормированном пространстве может порождаться некоторым скалярным произведением тогда и только тогда, когда выполнено следующее равенство (тождество) параллелограмма:


(\forall x,y\in H)\quad \|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2).

Если удовлетворяющее тождеству параллелограмма банахово пространство является вещественным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством


(x,y) = \left\|\dfrac{x+y}{2}\right\|^2-\left\|\dfrac{x-y}{2}\right\|^2.

Если это пространство является комплексным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством


(x,y) = \left\|\dfrac{x+y}{2}\right\|^2-\left\|\dfrac{x-y}{2}\right\|^2+
i\left\|\dfrac{x+iy}{2}\right\|^2-i\left\|\dfrac{x-iy}{2}\right\|^2
(поляризационное тождество).

Неравенство Коши — Буняковского. Ортогональность[править | править вики-текст]

В гильбертовом пространстве важное значение имеет неравенство Коши — Буняковского:

|(x,y)| \leqslant ||x||||y||.

Следовательно,

 -1 \leqslant \frac{(x,y)} {||x||||y||} \leqslant 1 .

Это позволяет интерпретировать данное отношение как косинус угла между элементами и, в частности, ввести понятие ортогональных элементов: два элемента гильбертова пространства ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю (x,y)=0. Для обозначения ортогональности элементов используется символ \perp. Два подмножества M и N гильбертова пространства ортогональны (M\perp N), если любые два элемента f \in M, g \in N ортогональны.

Для попарно ортогональных векторов справедлива теорема Пифагора (обобщенная):

||\sum_i x_i||^2=\sum_i ||x_i||^2/

Множество всех элементов пространства, ортогональных некоторому подмножеству A, является замкнутым линейным многообразием (подпространством) и называется ортогональным дополнением этого множества.

Подмножество элементов называется ортонормированной системой, если любые два элемента множества ортогональны и норма каждого элемента равна единице.

Базисы и размерность гильбертова пространства[править | править вики-текст]

Система векторов гильбертова пространства является полной, если она порождает все пространство, то есть если произвольный элемент пространства может быть сколь угодно точно приближен по норме линейными комбинациями элементов этой системы. Если в пространстве существует счетная полная система элементов, то пространство является сепарабельным — то есть имеется счетное всюду плотное множество, замыкание которого по метрике пространства совпадает со всем пространством.

Данная полная система \{e_i\} является базисом, если каждый элемент пространства можно представить как линейную комбинацию элементов этой системы и притом однозначно. Необходимо отметить, что в общем случае банаховых пространств из полноты и линейной независимости элементов системы не следует, что это базис. Однако, в случае сепарабельных гильбертовых пространств полная ортонормированная система {e_i}является базисом. Для того, чтобы ортонормированная система была полна в сепарабельном гильбертовом пространстве необходимо и достаточно, чтобы не существовало ненулевого элемента, ортогонального всем элементам ортонормированной системы. Таким образом, для каждого элемента f пространства имеет место разложение по ортонормированному базису \{e_i\}}:

f=\sum^{\infty}_{i=1}  \alpha_i e_i=\sum^{\infty}_{i=1}  (f,e_i) e_i

Коэффициенты разложения \alpha_i=(f,e_i) называют коэффициентами Фурье. При этом для нормы элемента выполнено равенство Парсеваля:

||f||^2=\sum^{\infty}_{i=1}|(f,e_i)|^2

Все ортонормированные базисы в гильбертовом пространстве имеют одинаковую мощность, что позволяет определить размерность гильбертова пространства как размерность произвольного ортонормированного базиса (ортогональная размерность). Гильбертово пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда имеет счетную размерность.

Размерность пространства также можно определить как наименьшую из мощностей подмножеств гильбертова пространства H, для которых замыкание линейной оболочки совпадает с H.

Любые два гильбертовы пространства, имеющие одинаковую размерность, изоморфны. В частности, любые два бесконечномерные сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны друг другу и пространству \ell^2.

Ортогональные разложения[править | править вики-текст]

Пусть L-некоторое подпространство в гильбертовом пространстве H. Тогда для любого элемента f \in H справедливо единственное разложение f=g+h, где g \in L, а h \perp L. Элемент h называется проекцией элемента f на L. Совокупность элементов h, ортогональных подпространству L образует (замкнутое) подпространство M, являющееся ортогональным дополнением подпространства L.

Говорят, что пространство H разложено в прямую сумму подпространств L и M, что записывается как H=L \oplus M. Аналогично можно записать L=H \ominus M.

Пространство линейных функционалов[править | править вики-текст]

Пространство линейных непрерывных (ограниченных) функционалов также образует линейное пространство и называется сопряженным пространством.

Имеет место следующая теорема Риса об общем виде ограниченного линейного функционала в гильбертовом пространстве: для любого линейного ограниченного функционала f на гильбертовом пространстве H существует единственный вектор y \in H такой, что f(x)=(x,y) для любого x \in H. При этом норма линейного функционала f совпадает с нормой вектора y:

  • \|f\|=\sup_{\|x\|=1} |f(x)|= \sqrt{(y,y)}.

Из теоремы следует, что пространство линейных ограниченных функционалов над гильбертовым пространством H изоморофно самому пространству H.

Линейные операторы в гильбертовых пространствах[править | править вики-текст]

Линейный оператор A может быть представлен в данном базисе матричными элементами единственным образом: a_{ij}=(Ae_i,e_j)

Линейный оператор A^* называется сопряженным к оператору A, если для любых элементов x и y выполнено равенство (Ax,y)=(x,A^*y). Норма сопряженного оператора равна норме самого оператора.

Линейный ограниченный оператор называется самосопряженным (симметрическим), если A^*=A

Оператор P, опредёленный на всем пространстве, который каждому элементу ставит в соответствие его проекцию на некоторое подпространство называется проектирующим оператором, (оператором проектирования, ортопроектором). Проектирующий оператор является линейным самосопряженным оператором с единичной нормой, для которого выполнено равенство P^2=P. Произведение двух проектирующих операторов является проектирующим тогда и только тогда, когда они перестановочны: P_1P_2=P_2P_1

Свойства[править | править вики-текст]

Примеры[править | править вики-текст]

определён и конечен, притом функции, отличающиеся между собой на множестве мере нуль — отождествляются между собой (то есть, формально, L^2[a,b] есть соответствующее множество классов эквивалентностей). Скалярное произведение на этом пространстве задаётся равенством
(f, g) = \int\limits_a^b\!f{g}\,dx.

Для пространств \ell^2 и L^2[a,b] над полем комплексных чисел, последовательностей комплексных чисел и комплекснозначных функций, определение скалярного произведения отличается лишь комплексной сопряжённостью второго сомножителя:

(x, y) = \sum_{n=1}^\infty x_n \overline{y}_n;
(f, g) = \int\limits_a^b\!f\overline{g}\,dx.

Литература[править | править вики-текст]

  • Халмош П., Гильбертово пространство в задачах, Перевод с английского И. Д. Новикова и Т. В. Соколовской; под ред. Р. А. Минлоса. — М.: Издательство «Мир», 1970. — 352 с.
  • Морен К., Методы гильбертова пространства. — М.: Мир, 1965. — 570 c.