Гильбертов кирпич

Гильбертов кирпич (гильбертов куб) — тихоновский куб счётного веса, то есть топологическое пространство, гомеоморфное произведению счётного числа копий отрезков $[0,1]$ (с топологией произведения).

По теореме Тихонова гильбертов кирпич компактен.

Гильбертов кирпич является метризуемым, так как он гомеоморфен следующему подмножеству гильбертова пространства $\ell ^{2}$:

$\left[0,1\right]\times \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\times \left[0,{\tfrac {1}{3}}\right]\times \dots$,

то есть точками гильбертова кирпича являются бесконечные последовательности $\{x_{n}\}$ гильбертова пространства $\ell ^{2}$, такие, что:

$0\leqslant x_{n}\leqslant {\frac {1}{n}}$.

Гильбертов кирпич, вложенный в гильбертово пространство, имеет пустую внутренность, то есть он не содержит непустых открытых подмножеств.

Гильбертов кирпич универсален для всех метризуемых компактов и для всех метризуемых сепарабельных пространств. То есть любое компактное (сепарабельное) метрическое пространство гомеоморфно подмножеству гильбертова кирпича.

Литература

• Энгелькинг Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 137—139. — 752 с.
• Тихоновский куб — статья из Математической энциклопедии. Архангельский А. В.