Гиперболическая группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В алгебре, конечно-порождённая группа называется гиперболической, если она является гиперболической как метрическое пространство.

Определение[править | править исходный текст]

Более подробно, на конечно-порождённой группе с выбранными образующими есть естественная метрика — словарная. Группа называется гиперболической, если, снабжённая этой метрикой, она оказывается гиперболической как метрическое пространство. Поскольку при замене выбранной системы образующих метрика меняется квазиизометрично, а гиперболичность метрического пространства при этом сохраняется — понятие оказывается не зависящим от выбора системы образующих.

Примеры[править | править исходный текст]

  • Поскольку гиперболичность это, в определённом смысле, "сходство" свойств метрического пространства с деревом — свободная группа (граф Кэли которой является деревом) с любым конечным числом образующих гиперболична.
  • Группа PSL(2,Z) гиперболична.
  • Конечная группа гиперболична.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Гиперболичность сохраняется при переходе к подгруппе конечного индекса.
  • Любая гиперболическая группа является конечно-представленной: задаётся конечным числом образующих и конечным числом соотношений. (Как следствие, гиперболических групп — в отличие от всех групп вообще — лишь счётное число.)
  • Гиперболичность влечёт за собой (а, на самом деле, равносильна) линейному изопериметрическому неравенству: тривиальное слово, записанное как произведение N образующих, представляется как произведение CN сопряжённых к базисным соотношениям (с определённым контролем на длину сопрягающих произведений).

Литература[править | править исходный текст]