Гиперболические уравнения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Волновой процесс, получаемый при решении уравнения гиперболического типа

Гиперболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Характеризуются тем, что задача Коши с начальными данными, заданными на нехарактеристической поверхности, однозначно разрешима.

Определение[править | править вики-текст]

Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции  u : R^n \rightarrow R :

 \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}  \frac{\partial ^2 u}{\partial x_i \partial x_j} + \sum_{k=1}^n b_k \frac{\partial u}{\partial x_k} + c u = f(x_1,\ldots , x_n)

При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть:  a_{ij} = a_{ji} . Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы:

\left ( \nabla A \nabla ^T \right )u + \mathbf{b} \cdot \nabla u + c u = f(x_1,\ldots , x_n),

где A = A^T.
Матрица A называется матрицей главных коэффициентов.
Если сигнатура полученной формы равна (n-1, 1), то есть матрица A имеет n-1 положительных собственных значений и одно отрицательное (либо наоборот: n-1 отрицательных, одно положительное), то уравнение относят к гиперболическому типу[1].
Другое, эквивалентное определение: уравнение называется гиперболическим, если оно представимо в виде:

 Lu - a^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = f(x_1,\ldots , x_{n-1}, t) ,

где: L — положительно определённый эллиптический оператор, a \neq 0.

Решение гиперболических уравнений[править | править вики-текст]

Для нахождения однозначного решения уравнение доопределяется начальными и краевыми условиями, поскольку уравнение имеет второй порядок по времени, то начальных условия два: для самой функции и для её производной.

Примеры гиперболических уравнений[править | править вики-текст]


См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Гиперболического типа уравнение // Математический энциклопедический словарь. Гл.ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Советская энциклопедия». — 1988.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Тихонов А.Н, Самарский А.А. Уравнения математической физики (5-е изд.).. — Москва: Наука, 1977.
  2. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. Метод конечных элементов для скалярных и векторных задач. — Новосибирск: НГТУ, 2007. — 896 с. — ISBN 978-5-7782-0749-9